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y'=2x-2x/(9-x²)
=2x{1-1/(9-x²)}
=2x{(9-x²)/(9-x²)-1/(9-x²)}
=2x{(9-x²)-1}/(9-x²)
=2x(8-x²)/(9-x²)
=2x(x²-8)/(x²-9)
=2x(x+2√2)(x-2√2)/(x²-9)
y'=0とおくと、
2x(x+2√2)(x-2√2)/(x²-9)=0
x=0,±2√2
よって、x=0,±2√2のときy'=0となります。
このときx=0は真数条件-3＜x＜3を満たしているので入れて大丈夫です。
y'の符号は、区間ごとにy'＞0かy'＜0かを調べればいいです。
-3＜x＜-2√2のとき、x＜0,x+2√2＜0,x-2√2＜0,x²-9＜0なので、
y'=2x(x+2√2)(x-2√2)/(x²-9)＞0
※(-)×(-)×(-)÷(-)=(+)
-2√2＜x＜0のとき、x＜0,x+2√2＞0,x-2√2＜0,x²-9＜0なので、
y'=2x(x+2√2)(x-2√2)/(x²-9)＜0
※(-)×(+)×(-)÷(-)=(-)
0＜x＜2√2のとき、x＞0,x+2√2＞0,x-2√2＜0,x²-9＜0なので、
y'=2x(x+2√2)(x-2√2)/(x²-9)＞0
※(+)×(+)×(-)÷(-)=(+)
2√2＜x＜3のとき、x＞0,x+2√2＞0,x-2√2＞0,x²-9＜0なので、
y'=2x(x+2√2)(x-2√2)/(x²-9)＜0
※(+)×(+)×(+)÷(-)=(-)
-3＜x＜3においては常にx²-9＜0ですが、x,x+2√2,x-2√2は区間が変わるごとにひとつずつマイナスからプラスに変わっていきます。そのため、y'の符号は交互にプラスとマイナスになります。
よって増減表は、
x│-3│…│-2√2│…│0│…│2√2│…│3│
y'│/│ + │ 0 │ - │0│+│ 0 │ - │/│
y│(省略)
となります。
本当に分かりやすいです！3次関数だったんですね。微分から間違ってました…
丁寧に教えていただき、ありがとうございました。
助かりました!!