Question

みみ

解答（写真3枚目）で偏角とは逆の方向にＣが存在すると記載されているのですが、偏角とはどこの部分を指しているのでしょうか？教えて頂きたいです。

極方程式
209-35
30 <a<1であるような定数aに対して,次の方程式で表される
曲線Cを考える.
C:a2(x2+y^2)=(x2 + y2 - x)2
(1) C の極方程式を求めよ.
(2) Cとx軸およびy軸との交点の座標を求め, Cの概形を描け.
1
(3) a =
√3
とする.C上の点のx座標の最大値と最小値およびy
座標の最大値と最小値をそれぞれ求めよ.
〔東北大〕

解答
(x=rcos0,y=rsin0, x2 + y2 = v2 を C の方程式に代入すると
a²² = (r2r cos 0) 2
a-r
r² (r - (cos 0 - a)) (r = (cos
2 (2-2r cos 0 + cos² 0 - a²) = 0
+ a)) = 0
r = 0, r = cos 0-a2, r = cos 0 + a... 3
③
0<a<1だから③においてr = 0 となる 0 が存在するので,①は③に含ま
れる.さらに② においてr を -1, 0 を 0 + m とすると
-r = cos(О +л) -а
-rcos - a

212-35
これは③に一致するので,②と③の表す極方程式は同じである. 以上より求
める極方程式は
r = cos 0 + a
(2)a2(x2 + y2) = (x2 + y2-x)2 において x = 0 または y = 0 として座
標軸との交点を求めると
(0, 0), (1±a, 0), (0, ±a)
0 = α Ay
(i)
a JC B
(iv) 2л
(iv)
0 = B
(!)
(ii)
rと0の関係は上のグラフの通り.これから(i)(iv)の区間ではr>0だから
偏角の方向に C が存在し, (ii)()の区間ではr <0だから偏角とは逆の方向
に C が存在する.さらに(i)の区間ではrは減少し, (ii)の区間ではrの絶対値
は増加し, (Ⅲ)の区間ではの絶
対値は減少し, (iv)の区間では r
は増加する.さらに,Cのもと
の方程式から C は x 軸につい
対称である以上からCの
概形は右図のようになる.
a
T
1+a
(3) r = cos 0 + 1
-a
だから,
√3
x=rcos0=
cos0 +
cos 0 =
9 =
0+
1
(cos +2√3)² - 12
この1cos≦1における最大値は1+
√3
最小値は 112 である.
また,
y=rsin0=cos+
(cos + 1/1/13) sine
の対称性からの増減を0≦0≦πで考える
dy
==
de
- sin 20 + cos
(cos +13) c
✓3
20
coso