Question

受験生

これでa.bが素数となるのはなぜですか？教えてください

求める2数をそれぞれ A, Bとし、 A. Bを最大公約数の16で割った商をそれぞれ a, b(a, bは
互いに素)とすると,連除法より,
16) A B
と表せる。
DEA
a b
ここで,A=16a, B=166(a, bは互いに素)となり,
和が352より, 16a+166=352
両辺を 16 で割って, a+b=22
これを満たす互いに素となる(a, b)は,
(a, b)=(1, 21), (3, 19), (5, 17), (7, 15), (9, 13)
よって,その差が一番小さいものは, (a, b)=(9, 13)より,
(A, B)=(16a, 166)= (16×9, 16×13)=(144, 208)
144 と 208

Answer 1

すいか

もしかして「互いに素」のこと言ってます？
「互いに素」と「素数」は別物ですよ

受験生

あ！それのことですごめんなさい、、
互いに素が何かと、なぜそーなるか教えていただきたいです😢

すいか

互いに素っていうのは、ある二つの数字に対して、それらを割り切れる数字が1しかない組み合わせのことです。
・互いに素の例：2と3、5と19、7と12など
・互いに素ではない例：2と12(2で割り切れる)、15と21(3で割り切れる)、30と120(2、3、5、10などで割り切れる)

商を利用する問題だとこのあたり気をつけないと答えがぐちゃぐちゃになってしまうので注意が必要です。

今回の問題文がわからないのであれですけど、求めるAとBは16が最大公約数になると書いています。そしてAとBをそれぞれ16aと16bに置いてaとbを互いに素だと条件づけてます。
もしaとbが互いに素じゃない=同じ数で割り切れるとなると、「最大公約数が16」という前提条件が崩れるのがわかりますか？

16a+16bなら、16(a+b)となって問題の形式に合います。
もしこれが「a、bどちらも2で割り切れる」となるとどうなるでしょうか。
16a = 16×2×a‘ (a’はaを2で割った数)
　　=32a‘
16b = 16×2×b‘ (b’はbを2で割った数)
　　=32b‘
と展開できてしまい、
16a+16b
=32(a’+b‘)
となり、式が変なことになります。

aとbが互いに素だからこそ、16(a+b)を維持できるのです。