Question

たけし

数3です
271で、定義域がすべての実数になる理由が分かりません…t≦１になるので定義域も≦１じゃないんですか？

2 201 次の関数f(x), g(x) について, y= (g°f)(x) の定義域と値域を求め上
(1)) f(x) = -x。+2x, g(x) = x°-4x
(2) f(x) = /x-1+2, g(x) = log2.x

201 (1)「f(x) 3D-x°+ 2x = ー(x-1)?+1
(S
f(x)S1
よって
(gof)(x) = g(f(x)) であるから,
f(x) =t とおくと
g(t) = t°-4t
fo
= (t-2)?-4 (tS1)
さようシラタ(t) のグラフ
は右の図のように
l。
12
O
t
なるから
g(t) 2 -3
-4
以上より,
y= (gof)(x)の
定義域は すべての実数
y= 9(t)
値域は
y2 -3
Sんみ

Answer 1

ブドウくん

t=f(x)の範囲とxの範囲を混同していませんか？
まず、前提としてf(x)はすべてのxで定義されています。そのf(x)=tの関数g(t)が今考えている合成関数f(g(x))です。
f(x)≦1は全てのxで成り立っています。(実際にグラフを書いてみれば、最小値が1です)
すなわち、x=3に対応するtの値はf(3)=-3であるように、全てのxを1より小さいtで対応させることができるのです。だからt≦1であってもt=2や3になることはあり得ないのだから、定義域として全てのxをとるといえるのです。

説明が難しいですが、分かりますかね？

たけし

t=f(x)の範囲とxの範囲が同じになると思ってました…。図までありがとうございます。もう一度丁寧にやってみます。ありがとうございました！！