数学
高校生
解決済み
483で、ピンクのマーカー引いてるところの
因数分解が分かりません。分かる方教えていただきたいです。よろしくお願いします🙇♀️
483 0<a<1とする。曲線 y=x°ーx°と直線 y=a(x-1)で囲まれた2つの部分
の面積が等しくなるような定数aの値を求めよ。
0000
ヒント■
481> P(t, ?+4)として面積Sを求める。Sがtに無関係な値(定数)になることを示す。
483
2つの部分の面積は f(x)dr「{-f(r)}drという形の市積分で圭される
ァれらが
483 xーx=a{x-1) とすると
x(x-1)-a{x-1)30
(x+a)x-aXx-1)3D0
よって
0<a<1から
したがって、
曲線 y=x°-x? と
直線 y=a{x-1) は,
右の図のように異な
X=-a, a, 1
ーaくa<l
0a
ーa
る3点で交わる。
この曲線と直線で囲
まれた2つの図形の
面積が等しくなると
x
き
a
|(x°ーx)-α{x-1)dx
-a
=Jatx-1)-(ポーx)dx
すなわち (x-x)-α9x-1)dx
-ax-1)-(°-xう)dx=0
よって
(x°ーxーα'x+a)dx=0
左辺の積分を計算すると
x3
a?
x4
左辺=
4
-x?+a'x
3
2
-a
a4
2
3
a?
1
3
三
4
2
12
a4
2
3
1
したがって++号ー言ー0
a
4
3
2
12
3a+8a°+6a?-1=0
因数定理を用いて左辺を因数分解すると
(a+1)3a-1)=0,
すなわち
1
0<a<1から
ニ=D
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