Question

ATB

大門4について
模範解答はkを4で割った余りで考えていますが、
僕の解答が証明できてるか不安なので(3)教えてください🙏🏻

4.次のように1,3, 4を繰り返し並べて得られる数列を{an} とする。
4,
(赤08点頭)
- 4で, 4以上の自然数nに対し、
すなわち, a」
1, a2 = 3, as =
ニ
an = an-3 とする.この数列の初項から第n項までの和を S。
so-AX (9)
とす
る。以下の問に答えよ.(配点30点) S0
(1) S, を求めよ.
9:A9 J武間8点SA点 (8)
T(2) Sn =
2019となる自然数nは存在しないことを示せ。
(3) どのような自然数kに対しても, S, = k? となる自然数nが存
在することを示せ、

以上より,どのような自然数kに対しても, S,=Dk°となる自然数nが存
(2)(1)より,Sを8で割った余りは0または1または4であるが,
以上より
8n
3
8n-5
S,=
三
3
余の
J
8n-4
(nを3で割った余りが2のとき)
3
2019=8×252 +3より 2019を 8で割った余りは3であるので
S.=2019 となる自然数nは存在しない。時 関 (証明終)。
技
(3) k=41 (1=1, 2, 3. …)のとき
=(4)?=8(2/)
であるので,n=3(2/°)とすれば、nは自然数で, (1)より
S,= Ss(2r) =8(2r°) =Dk°
k=4/+1(I=0,. 1, 2, …)のとき
会 果 (S)
= (4/+1)?=16/°+8/+1=8(2/° + 1) +1
であるので、n=3(2/°+1) +1 とすれば, nは自然数で、(1)より
S,=Ss(2F+0+1=8(2/°+1) +1=k°
k=4!+2(1=0. 1, 2, …) のとき
k°= (41+2)?=16/°+16/+4=8(2/°+21) +4
であるので、n=3(22+2/) +2 とすれば, nは自然数で, (1)より
S,= Ss(2F+20 +2=8 (21°+21) +4=k
k=4!+3 (I=0, 1, 2, …) のとき
k°= (41+3)?=16/°+241+9=8(2r +31+1) +1 0-
0-1+mr
であるので、n=3(2/°+3/+1) +1とすれば, nは自然数で, (1)より
S,= Ss(aF+3+1) +1=8(2/°+3/+1) +1=k°
以上より,どのような自然数々に対しても, S,=k°となる自然数nか付
在する。
(証明終)
Ari

202
(h-3m) (miは
Ch= 3m-2)
3
Pn-y
(ne3m-1)
3
e)
e) とよれってにあみど考える
りと=2R- Qは眺激)のとき
ド-42-42+1
=4)(2-1)t1
をなりら経数の抜は偶数り
= 8p+1(pは対象)と売せる。
)ヒ= 42-2 aとせ
と*= 162~160tf
= #(2-22)t生
)ト=40のとき:
161-
と(22)to
PAAN
こで10m} をL3.も山34
3項ずつに切ると よのその数利と
春せることにより
Saは8m. Amt に Aatt
の3種に分けるこをができる、
れは 1)~il)のすべての↓と
-1で対応していまと
Uたがって題帯は沸トみた。
0