Question

ゆうと

カッコ2番お願いします
全くわかりません

[3] 点(1, 2, -3)を中心とする球Sが平面2=2と接している。このとき, 次の問いに答え上
(1)球Sの方程式を求めよ。
(2)球Sが平面x-2y+2z-3=0と交わってできる円rの半径を求めよ。
(3)点A(-2, 2, 3) を通り, 方向ベクトルd=(2, 1, 1) の直線上に点Pを,球s 上に
点Qをとる。距離 PQの最小値を求めよ。

T1
→モ区科学部
2に同じ
2 解答 <ベクトル>
球Sは平面 =2と接しているから半径は2-(-3)=5である。
よって、球Sの方程式は
(x-1)?+(y-2)?+(z+3)?=25
…(答)
x-2y+2z-3==0 ……①
座標の原点を O, 球Sの中心を O., 球S
と平面のが交わってできる円の中心を O。
とすると、平面①の法線ベクトルは
(1. -2, 2) であるから,tを実数として
O。
O2
O.
002は
002=00,+t(1, -2, 2)
=(1, 2, -3)+(t, -2t, 2t)
=(1+t, 2-2t, -3+2t)
となる。
点02は平面の上の点であるから
1+t-2(2-2t)+2(-3+2t)-3=0
O
を解くと
4
t=
3
7
: 002
3
2
3'
3
2
: 0,02=
3
3

88 2019年度
4
8
8
3'3
2
8
=4
3
42
8
2
10,02|=.
3
球Sと平面①が交わってできる円周上の点を A とすると,△0,0,A は
20,02A=90° の直角三角形であるから
0,0°+02A?=0.A°
. 16+r=25
0(
よって
ア=3
(答)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

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画像2枚目にある図の中で、
O1は、球Sの中心
O2は、「球Sが平面x-2y+2z-3=0と交わってできる円」の中心
Aは、「球Sが平面x-2y+2z-3=0と交わってできる円」の周上に適当に取った点
です。
長いので、以下、平面x-2y+2z-3=0を平面①、「球Sが平面x-2y+2z-3=0と交わってできる円」を円Cと書きます。

Aは球S上の点でもあるので、O1A = 5です。(球の半径)
また、ベクトルO1O2は円Cに垂直です。
いま、O1Aの長さと、∠AO2O1=90°が分かっていて、求めたいのは円Cの半径、つまりO2Aの長さです。
そこで、O1O2の長ささえ分かれば、三平方の定理からO2Aが求まるな、という発想に至ります。
というわけで、以下しばらく、O1O2の長さを求めるのが目標になります。

これを求めるにあたって、解答では
(a)ベクトルO1O2が平面①に垂直である
(b)点O2は平面①上にある
ことを順に使っています。
平面の法線ベクトルとは平面に垂直なベクトルのことで、(a)よりベクトルO1O2は平面①の法線ベクトルに平行です。このことから、O2の位置ベクトルを(1+t,2-2t,-3+2t)と設定しています。
次にこれを(b)の条件に当てはめたのが②で、tの方程式と見て解けばO2の座標が求まります。

これでO1O2の長さが得られるので、目論見通りに三平方の定理を使って答えが出せます。

ゆうと

ありがとうございます