（1）の（ウ）で、3の倍数になるのは、各位の数の和が3の倍数になる時であるという事はわかるのですが、各位の桁が3桁になるというのは、どのように考えたら良いのでしょうか？普通に足してみて3の倍数である事を確かめるのですか？もう少し簡単にわかる方法があるのですか？
この場合は,0のときと 2,4のときに分けて考えるとよい。
(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。
(2) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る
(ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数のときである。(p.419参照)
336 第6章 場台
2 順
Check
列
337
(i) 一の位が2, 4のとき
百の位は0と一の位の数以外の4通り
十の位は百の位と一の位の数以外の4通り
したがって、
よって,(i), (i)より,偶数は、
例題 185 整数を作る問題(1)
このとき,次の数の個数を求めよ.
次異なる整数
百の位が0以外にな
ることに注意する。
A2 偶数
(ウ)
3の倍数
4×4×2=32(通り)
20+32=52(個)
()3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数
のときである。
和が3の倍数になる3つの数の組は、
(0, 1, 2}, {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5),
(1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4), {3, 4, 5}
である。
{0, 1, 2} は,102, 120, 201, 210 の4通り
{0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5} も同様に4通り
したがって, 4×4=16 (通り)
{1,2, 3} は,123, 132, 213, 231, 312, 321 の
とき,異なる整数の和はいくつになるか。
考え方(1) (7) 0を含む6つの数字から3桁の整数を作る
ときは,百の位は0にならないことに注意
く3桁の数)
(2桁の数
百 十
■ロロ
Lo以外
百 +
(イ) 偶数になるのは, 一の位が, 偶数,つまり、
0, 2, 4の場合である。
する。
0ロロ
百の位が0以外にな
ることに注意する.
百,十,一の位の数を a, b, cとすると,
100a+106+c=3×33a+a+3×36+b+c
6通り
{1, 3, 5}, (2, 3, 4), {3, 4, 5} も同様に6通り
したがって,
よって,
=3(33a+36)+(a+b+c) より,
6×4=24(通り)
16+24=40(個)
3の倍数になるのは, a+b+cが3の倍数のときである。
(2) 百の位が1となる3桁の整数
は,右のように20個ある。
このとき,各位で, 0~5の
数がいくつ使われているか考
えるとよい。
3桁の整数は
百|十
百
百|+
1|5
(2) 百の位には1~5の数字が各 20回ずつ現れる。
十の位には, 0の数字が合計20回,
1~5の数字が各 16回
1
0
1
3
0
百の位が1の場合,
十の位に0が現れる
のは4回,残りの2
~5も同様。
0
2
2
4
4
ずつ現れる。
ーの位も十の位と同様である。
したがって,
(1+2+3+4+5)×20×100 百の位
+(1+2+3+4+5)×16×10 十の位
+(1+2+3+4+5)×16×1 の位
=(1+2+3+4+5)×(2000+160+16)
=15×2176=32640
よって,求める和は, 32640
33
5
5
4
| 20個
2
0
4
0
100a+106+c で表されるこ
とに注意する。
第6章
0は省略している。
3
2
m
4
3
M
5
5
解答(1)(ア) 百の位は0以外の数なので,
まず, 0以外の数で
百の位を考える。
5通り
残りの位は,百の位の数以外の5個から2個
取り出して並べればよいので,
sP2=5×4=20(通り)
よって,求める3桁の数は,
十, 一の位は0も入
れて考える。
Focus
n個からr個を取る順列の総数は,P, 通り
n桁の整数 =→最高位は0以外の数となる
5×20=100(個)
|5×P2
(イ) 偶数は, 一の位が0のときと一の位が2,4のと
きに分けて考える。
(i)一の位が0のとき
残りの位は, 0以外の5個から2個取り出
して並べればよいので,
sP2=5×4=20(通り)
0, 1, 2, 3, 4, 5から作られる3桁の自然数について, 次のような数の個数また
練習
100 は和を求めよ、ただし、同じ数字は1度しか使わないこととする。
185
/(3))奇数の和
(2) 5の倍数の個数
9
(1) 奇数の個数
→p.345DD
1
LO
23
