Question

しぇいくすぴあ

1枚目が問題、2,3枚目が解答です。
数弱が露呈する質問になりますがお付き合いください。

(2)についてです。
mod10で計算したら「1,3,2,5」が周期4で繰り返して永遠に0にならないんですけど、どうしてmod10で計算するという方針では上手くいかないんですか？

1-5
整数からなる数列{an}を漸化式
a=1, a2=3, an+2=3an+1-7an (n=1, 2, · )
によって定める。
1) an が偶数となることと, nが3の倍数となることとは同値であることを示せ。
an が 10 の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ。

確認問題の解答
1-
1-5
|a=1, az=3
an+2=3am+1-7an (n=1, 2, )
…D
(1) Oより,mod 2 で,
an+2=3an+1-7an=an+1+an (n=1, 2, ……)
そこで,この数列を②にしたがって mod2で計算すると,
a=1
a2=3=1
ds=1+1=0
a4=1+0=1=a
as=0+1=1=a2
以下同じ計算が繰り返され,この数列は mod2 で, 「1, 1, O」 を周期3で繰り返す。
したがって, an が偶数となることと, nが3の倍数となることとは同値である
(2) 10=2×5なので, まず, mod 5 で考える.
のより,mod5で、
an+2=3an+1-7an=3(an+1+an) (n=D1, 2, …) ③
そこで,この数列を③にしたがって mod5 で計算すると,
a=1
a2=3
a-3+
as=3(1+3)=2
Sabta
え
a4=3(3+2)=0
as=3(2+0)=1=a
ds=3(0+1)=3=α2
以下同じ計算が繰り返され, この数列は mod 5 で, 「1, 3, 2, O」 を周期4で繰り返す。
したがって, an が5の倍数となるための条件は, nが4の倍数になること.
これと(1)の結果より,
n=0 (mod 3)
n=0 (mod 4)
an=0 (mod 2)
an=0 (mod 5)
と分かった。ここで, 2と5は互いに素であるから,
a=0(mod 2)
n=0 (mod 3)
an=0 (mod 10) →
(:: の)
an=0 (mod 5)
n=0 (mod 4)

確認問題の解答
→ n=0 (mod 12) (: 3と4は互いに素)
よって,an が 10 の倍数となるための条件は、
,
nが 12 の倍数になること
.(答)

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

mod10で③を用いて
a_1≡1
a_2≡3
a_3≡2
a_4≡5
a_5≡1
a_6≡8
a_7≡7
a_8≡5
a_9≡6
a_10≡3
a_11≡7
a_12≡0
a_13≡1...
となります。

ぽっきー

正確には
a_12≡0
a_13≡1≡a_1
a_14≡3≡a_2..より{a_n}は1,3,2,5,1,8,7,5,6,3,7,0を周期12で繰り返す。

しぇいくすぴあ

a_5で実験止めてました笑
ありがとうございます！