Question

オニウチ

(3)が計算はわかるのですが、この考え方になる理由がわかりません。
大至急お願いします。

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難易度 ★
目標解答時間
12分
90|60
36
35
難易度 ★
8人の生徒を組分けする。
(1) 8人の生徒を3人のA組, 3
(2) 8人の生徒を3人, 3人, 2
また,8人の生徒を6人,
B
右の図1のような碁盤の目の街路があり,点Aから点Bまでの最短経路
を考える。
R
a*
(1) すべての経路は[アイウ通りある。そのうち点Pを通る経路はエオカ
通りある。
また, a地点を通らない経路はキクケ通りある。
|S Q
2人の3組に分ける方法は全
(3) 8人の生徒を1人以上の
セコ人の3組に分ける場
だし, シコ> スコ>
したがって,8人の生徒:
P
(2) 点P, Q, Rをすべて通る経路はコサ]通りある。
A
また,点P, Qをともに通り,点Rを通らない経路は[シス]通りある。
(3) 点Q, R, Sのどの点も通らない経路について考える。
点Q, R, Sのどの点も通らないとき,図2の点C,
図1
Kのうち,
に当てはまるものを,
セ
C
D
B
いずれか1点を通り, かつ, 1 点だけを通る。
E
F
R
セ
次のO~6のうちから一つ選べ。
O D
G
|S
Q
0 E
2 F
ここで,点Cを通る経路はソタ]通りあり,点Kを通る経路は
(3
G
の H
6 I
6 J
H
I
K
チツ]通りある。
A
さらに,点 セ]を通る経路についても考えることにより, 点Q, R,
Sのどの点も通らない経路はテト]通りある。
図2
(公式· 解法集 38

に当てはまる最も適当なものを
AからBへの最
右に1区画
最短経路の数
10!
= 252(通り)
515!
35
上に1区画
Pを通るのは A→P→Bと進む経路であるから
= 105(通り)
1)すべての経路は
で表すと,1っ
5個,f5個
7!
X
×34
C
方が対応する
したがって,
15個の順列
a地点を通るのは, A→Q→R→Bと進む経路であるから
T×1×2!=70(通り)
4!3!
よって, a 地点を通らないのは
(すべての経路の数) - (a 地点を通る経路の数)
= 252-70 = 182(通り)
(Pointく
A→P, P
積の法則を
C)
から、B。
とはでき
a地点を通
求めるのは
点を通る
数をすべ
(2) P, Q, Rをすべて通るのは、A→P→Q→R→Bと進む経路である
から
とEが
法は、
字をも
3!
4!
×1×2! = 36 (通り)
2!^212!
P, Qをともに通り, Rを通らない経路は、QからRを通らずBへ進む
経路が1通りであるから
Eの
全部で
3!
4!
2!^2!2!
× ×1= 18(通り)
C
D
B
(3) 点Aから点Bまで最短経路で進
むとき,右の図の点線上の4点C, F,
Q, Kのうちのいずれか1点を通り,
かつ1点だけを通る。したがって,
Q, R, Sのどの点も通らないとき,
C, F (@), Kのうちいずれか1点
を通り,かつ1点だけを通る。
E
F
R
21個
G
る女
H
1J
K
ここで, Cを通るのは A→C→Bと
進む経路であるから
A
7!
215!
-×1=D21(通り)
Kを通るのは A→K→B と進む経路であるから
7!
-×1=D21(通り)
5!2!
また,Q, R, Sを通らず, Fを通るのは A→E→F→D→B と進む経
路であるから 4D
C
6!
S.
-×1×1×1=D15(通り)
2!4!
E
よって, Q, R, Sのどの点も通らない経路は
21+21+15 = 57(通り)
る
Poi/
条
短経路の総数
には、集合の考え方を利用する。
Q_
S