Question

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数学、標準問題精講109です。
画像二枚目にある
（ⅱ）と（ⅲ）の
p=0のとき、D＞0ならば、f(x)=0は一つの実数解と二つの虚数解をもつとありますが、それはなぜですか？

（ⅰ）のときは（極大値）×（極小値）＞0であるから、一つの実数解と二つの虚数解を持つことがわかるのですが、、。

詳しく教えてください。

109 方程式への応用(2)
3次方程式 +3pz+q=0 (p, qは実数)において, D=4が+q° とす
るとき,この方程式の解について,次のことを示せ。
[D<0 ならば,異なる3つの実数解をもつ。
D=0 ならば,解のすべては実数解であり,重解をもつ。
ID>0 ならば, 1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつ。
©Di
3次方程式 +3px+q=0 の解は
3次関数 y=r°+3px+qのグラフ
をかき, z軸との共有点の状態を調べればよく,
解法のプロセス
精講
3次方程式の解の状態
極値をもつときは
3次関数のグラフをかき, エ
軸との共有点を調べる
極値の符号
を調べることにより,x軸との共有点の状態がわ
かります。したがって, 本間はまず
極値をもつかどうか
で場合分けをします。 y'=3(z°+か) ですから,
か20 のときは極値をもたないのですが,本間の
Dに対して,か>0 のときは, D=4が+>0 と
定符号ですが,p=0 のときは D=q">0 となり,
Dの符号が正であったり, 0だったりしますので,
p=0 は別扱いとします。
かく0 のときは極値をもち,このときは, さら
に(極大値)×(極小値)の符号で場合分けするこ
とになります。
f(z)を計算
極値をもつかどうか,
極値の符号はどうか
で場合分けする
解答
f(z)=°+3pr+qとおく.
f(z)=3.z*+3p
(i)か<0 のとき, f'(x)=0 は エ=±ノ-p を解に
もつ。
YA
図1
ーカ
V-P
0
0
ーV-p 0
f(x)|

(極大値)×(極小値)=S(-V-b)f(/=)
=(-2か/-カ+q)(2か/ーカ+q)
=4が+q°=D
D<0 ならば、y=f(z) のグラフは図1のよう
になり,f(x)=0 は異なる3つの実数解をもつ。
D=0 ならば,極大値, 極小値のどちらか一方
が0であり(図2参照), f(z)=0 の解はすべて
実数解であり, 2重解をもつ。
D>0 ならば, 極大値, 極小値は同符号であり
(図3参照),f(z)=0 は1つの実数解と2つの虚
数解をもつ。
(i) カ=0 のとき, f(z)=r°+q, D=q°
D>0 ならば, qキ0 であり, f(x)=0 は1つ
の実数解と 2つの虚数解をもつ。
D=0 ならば, q=0 であり, f(x)=0 は z=0 という3重解をもつ。
() p>0 のとき, f'(z)>0 で, f(x) は単調増加, このとき,
D>0 であり, f(z)30 は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。
以上から, f(x)=0 の解は
[D<0 ならば, 異なる3つの実数解をもつ。
D=0 ならば, 解のすべては実数解であり, 重解をもつ。
、D>0 ならば, 1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつ。
ーV-p 0
-P
-V-P

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

キレート

極値がないので、実数解は1個です。