分子は,初項1,公差1の等差数列である。すなわち,もとの数列の項数と分
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基本 例題112 群数列の応用
10 11
の分数の数列につ。
9
8
4
4
5
6
7
1
2
3
4'5
4
1'2'2
3'3'3'4'
(類東北学院大)
初項から第210項までの和を求めよ。
キ。
指針> 分母が変わるところで「区切り を入れて,群数列 として考える。
分母:1|2,2| 3, 3, 3| 4, 4, 4, 4|5,
1個 2個
第n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子:1|2,3|4, 5, 6|7, 8, 9, 10 | 11,
3個
4個
しい。
まず,第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として, 次のように区切って考える。
6|7
2|3'3' 3|4'4' 4'4|51
(もとの数列の第々環に
子がkである。また、。
群は分母がんで、と
1|2
3|4 5
8
9
10|11
1
2
第1群から第n群までの項数は
を含む。
1+2+3+………+n= n(n+1)
これから,第n群の熱
第210項が第n群に含まれるとすると
数の分子は
1
-n(nt1
-(n-1)n<210名号7(n+1)
よって
(n-1)n<420<n(n+1)
の
(n-1)nは単調に増加し, 19·20=380, 20·21=420であるから,
①を満たす自然数nは
また, 第210項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ
る。ここで, 第n群に含まれるすべての数の和は
n=20
* 20-21=210
n+1
-n=
は第n群の数の好
の和→等差数列の和
2
ゆえに,求める和は
Q k+1
うn(2a+(n-1)d
k+
20·21·41
+20
k=1
\k=D1
k=1
6
=1445
