Question

三日月

図形と計量の問題です。解説の黄色線のところなんですが、なぜこのときRが最小となるのですか？

(2)、太郎さんと花子さんは,外接円の半径Rについて考察している。
太郎:Rの値はxの値によって変化するよね。xがどのような値のときに,
Rの値は最小になるのかな。
R
花子:外接円の半径といえば,正弦定理が思い付くよね。正弦定理の
sin ZBAC や sin ZACB の部分に着目すればいいんじゃないかな。
ケ
コ
正弦定理により, 2R=
である。よって, Rが最小
sin ZBAC
sin ZACB
こゆい 点共二
丁
ス
のときである。このとき, R=
セ
であ
となるのは x=
サ
シ
共る公異
る。
公異3ち 放共@
(数学I 数学A第1問は次ページに続く。)
る ぐ

(2](1) 余弦定理により
5°=7?+x°-2·7.x.cos ZBAC
すなわち
25=49+x°-14x
11
14
x-11x+24=0
(x-3)(x-8)=0
5
よって
x=*3, カ8
x=3 のとき,余弦定理により
7
B
COS ZACB=
5°+3-7°
-15
1
2-5-3--
2·5-3
2
したがって
ZACB=120° (*®)
x=8 のとき,余弦定理により
5°+8°-72
2.5-8
COS ZACB=
40
1
2.5-8
2
ムリに
したがって
ZACB=60° (^②)
ケ5
sin ZBAC
(2) 正弦定理により
2R=
コ7
sin ZACB
よって
5
7
R=-
2sin ZBAC
2sin ZACB
Rが最小となるのは, sinZACBが最大となるときである。
0<sin ZACBハ1 であるから, sinZACB=1 のとき, Rは最小となる。
このとき,ZACB=90° であるから, 三平方の
定理により
45<7 より,ZBAC=90°
とはならないことに注意。
C
>Point
AB=AC°+BC°
7=x°+5°
5
x>0 であるから
A
B
7
x=\7-5°=24=D"2,/6
このとき,Rの最小値は
ス7
R=2
Point
図形的に解く
サ
セ
(2)において, 外ト接円の半径Rの最小値を sin ZACBの大きさを用いて
求めたが,図形的に考察することもできる。△ABCの外接円の直径は,
辺 ABの長さより小さくなることはないから, 外接円の半径の最小値は
Qer
A.
B
A
B
A'
B
AB
7
2
2
図形の性質も含め, 問題によって様々な方法を自由自在に使いこなせるようにしておきたい。

図形と計量

Answer 1

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ログアウト済み

R ＝ 7/(2sin∠ACB)
において、sin∠ACB の値が小さくなると、R の値は大きくなります。
また、sin∠ACB の値が大きくなると、R の値は小さくなります。

よって、Rが最小となるのは、sin∠ACB が最大の時となります。

三日月

ありがとうございます😊