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背理法気持ち悪いっスよね
√5が無理数でない、すなわち有理数であると仮定すると（無理数の逆は有理数）
√5は1以外に正の公約数を持たない自然数m，n（=互いに素：二つを使って分数にした時、それ以上約分できないという意味）
を使って、√5＝m/nと表される（有理数＝分数で表せる だからmとnを使ってとりあえずこう表しておく）
この式の両辺を平方（2乗）
して分母を払うとm❷＝5n❷ ………①（√5＝m/nを両辺2乗して5＝m❷/n❷、両辺にn❷を掛けて5n❷＝m❷）
となり、m❷は5の倍数である（m❷＝5n❷でnは自然数だから5n❷は5の倍数。5n❷とm❷はイコールでつながっているからm❷も5の倍数）
したがって、mも5の倍数となるから（問題文にn❷が5の倍数ならばnは5の倍数であることを用いて良いって書いてある）
自然数kを用いてm＝5kと表される（kは自然数で、mも5の倍数だから）
これを①に代入すると（式①のmのところに5kをおくと、(5k)❷＝25k❷）
25k❷=5n❷，n❷=5k❷（両辺を5で割った）
となり、n❷が5の倍数であるから、nも5の倍数となる。（kは自然数だから5k❷は5の倍数。5k❷とn❷はイコールでつながっているからn❷も5の倍数。そして問題文にn❷が5の倍数ならばnは5の倍数であることを用いて良いって書いてある）
したがって、mとnはともに5の倍数であり、1以外に正の公約数を持たないことに矛盾する（二つを分数にしたらそれ以上約分できないはずなのに、mもnも5の倍数だからこれでは5で割れてしまう。だからおかしい）
よって、√5は有理数ではなく無理数である（上で√5が有理数だったらおかしなことになることが証明されたので、√5は有理数ではないってことが分かる。数字は必ず有理数か無理数のどちらかだから、√5は消去法で無理数ってことになる）
以上！お疲れ様でした。
分からないことがあったらご質問などどうぞ。
