Question

ぷりん🍮

この問題の(3)の印が付けてあるところが分かりません！
教えてくだい！

xの整式 P(x) = x°ー (k+4)x+(2k+3)xーkがある。ただし, kは実数である。
(1) P(x) を因数分解せよ。
(2) 方程式 P(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつことを示せ。
(3) 方程式 P(x) = 0 の実数解を小さい順に a, B, y とする。 α'+yの値が最小になるときのk
の値を求めよ。また, そのときのα, B, yの値をそれぞれ求めよ。

(2)(1)より, P(x) = 0 の解は x=1 と2次方程式
C=2x
x°-(k+3)x+k=0
ふと、AADH において
sin- DAH = sin (90°- ZBAC)
により
…D
の解をあわせたものである。 ①の判別式を Dとす
ると
= CoS ZBAC
D={-(k+3)}?-4k 」2
3
= k+2k+9
= (k+1)?+8>0」2
DH= ADsin<DAH
15/2
8
したがって,①はkの値に関係なく異なる2つの
実数解をもつ。
また,①の左辺に x=1 を代入すると
12-(k+3)-1+k=-2キ0」2
となるので,x=1 は①の解ではない。よって, ①
は1ではない異なる2つの実数解をもつ。
以上より,P(x) 3D 0 は異なる3つの実数解を
したがって
5/2.3
J2
2 4
その高さは DHであるから, この四面体の体
積を Vとすると
『--S-DH
もつ。」1
1.7/7.15/2
(証明終わり)
3
8
8
(3)(2)より, ①の左辺をyとおいた関数
y=x°-(k+3)x+k
のグラフは下に凸の放物線で, x軸と異なる2点で
35,14
64
J3
14
交わる。
また,2より x=1のとき
yく0 であるから, グラフ
とx軸の共有点は, x<1
20点(1)5点 (2)7点 (3)8点
y=x-(k+3)x+k
P(1) =1°-(k+4)-12+(2k+3)·1-k
=1-k-4+2k+3-k
=0」2
と1<xの部分に1つずつ
B=1 7
より, P(x) はx-1で割り切れ, P(x) をx-1で割
ると次のようになる。
xー(k+3)x+k
x-1)xー(k+4)x+(2k+3)xーk
ある。よって,B=1」2,
α<1, 1<yである。
したがって, ①の2つの解
がa, yであるから, 解と係数の関係により
Q
x
a+y=k+3, αy=lk
ー(+3)x+(2k++3)x
ー(k+3)x + (k+3)x
よって
+パ= (a+y)*-2ay
=(k+3)?-2k 」2
kx-k
kx-k
=+4k+9
0
= (k+2)?+5
kは実数であるから, α'+y
は k=-2」2 のとき最小にな
よって
5
P(x) = (x-1){r°ー(k+3)x+k}」3
(1)の別解)
る。
2
k
P(x) = x°-(k+4)x+(2k+3)xーk
=-(-2x+1)k+x°-4x°+3x
=ー(x-1)?友+x(x-1) (x-3)」2
= (x-1){x(x-3)-k (x-1)}
= (x-1){x°-(k+3)x+k}」3
また,このときOを解くと
xーx-2= 0
(x+1)(x-2) =D0
x=-1, 2
α<yより
α=-1」1,7=2」1
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

リグ

yと置いた函数にx＝1を代入してみてください

ぷりん🍮

それでマイナスになるからグラフの間にあるってことですね！
ありがとうございます✨

リグ

その解釈でOKです◎！