Question

タキタク

代数学Ⅱについての質問です。
解説の程、よろしくお願い致します。

問題.(1) 2次正方行列全体の環M:(R)の部分集合
{6)|
a b
a,bE R
0a
は Ma(R)の部分環であるかどうかを証明せよ。
(2) 多項式環R|z|の部分集合
{S(2°) e R{z||| (x) € R||}
はR]の部分環であるかどうかを証明せよ。

Answer 1

哲治

(1)部分環の定義を調べるだけ。まずM2((R)の部分集合であることはあきらか。
後は和と積に関して閉じていること、和と積の単位元、逆元がとれること
を示すだけ。
三角行列同士の積も三角行列、三角行列の逆行列も三角行列(これは既知とする)
和の単位元はゼロ行列、積の単位元は普通の単位行列を
もってくればよい。

哲治

(2)は実係数の多項式環なんで、和と積に関して閉じていることを示せばよい。