Question

@??

3枚目の、解説のマーカーの部分の変形の仕方を教えてください🙇‍♀️

282.《媒介変数で表された曲線と面積)
次のように媒介変数表示されたxy 平面上の曲線をCとする:
x=3cost-cos 3t
y=3sint-sin3t
ただし 0Stsである。
(1) 等およびを計算し、Cの概形を図示せよ。
dx
dt
dy
dt
[16 東京工大)
(2) Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

282 〈媒介変数で表された曲線と面積)
dx yの符号からx, yのtに対する増減を調べる。 tが増加するときyは単調に増加す
dt' dt
る(xは単調でない)。よって, 面積を求めるときは, xのyによる積分を考え, 置換積分法を
利用するとよい。
(1) 0名ts のとき
dx
-3sint+3sin3t=-3sint+3(3sint-4sin°t)
dt
ニ
=6sint(1-2sin't)
dx
dt
=0 とすると
dy
=3cost-3cos3t=3cost-3(4cos°t-3cost)
dt
1
sin't=
2
ニ
= 12cos t(1-cos"t) =D 12 costsin't20
すなわち sint=±
(2
dx
0<tく今のとき,
=0 となる tの値は
dt
t=
ニ
2
0<tくでこれを満たす
ゆえに,x, yの増減は次のようになる。
π
tの値は t=
4
元一4

π
0
4
2
dx
dt
0
C
0
4
2 2/2|
x
dy
dt
0|/V2|
4
V2
y
したがって,増減表から曲線Cの概形は
右の図のようになる。
(2) 求める部分の面積をSとすると
0
22/2
x
S=Sxdy=S dt
全置換積分法を利用して tの
積分にする。
dt
=(3cost-cos 3t)(3cost-3cos3t)dt
tdt-123
=9|°cos?tdt-12|°cos tcos 3tdt+3\°cos°3tdt
1
-sin2t
4
π
cos'tdt =
21+cos 2t
dt =
三
2
4
10
全三角関数の積→和の公式
"costcos3tdt= (c
(cos4t +cos 2t)dt
2
Cos a cos β
-ininz-0
=- cos (a+B)+cos(α-B)
三
-sin4t+
-sin2t
Sfco'3tdt -S1tcos6.at ー
/.
1+cos6t
1
-sin6t
π
'cos'3tdt=
2
4
よって S=9·4-12-0+3-エ=3π
S=9…