Question

りょうすけ

線を引いたとこの意味が分かりません。教えて頂きたいです。

8 無理数の計算(数値代入)
りた
これ
15-1
点になりませせん。
のとき,°+2の値を求めよ。
O =
2
15-1
のとき,2.2°+5.z"+3.c-2の値を求めよ.
(2) x=
2
(2) を与えられた形のまま式に代入すると,計算がタイヘンです。
そこで,ひと工夫します。それは,代入する数値を解にもつ2次
方程式を利用して,次数を下げることです。
精|講
解答
(1) エ=
15-1
より 2c+1=/5
「が消えるように
2
変形する
両辺を平方して, 4.z°+4.r+1=5
; +ェ=1
注の値を直接+ェに代入してもよいですが,そのときは、
+ェ=ェ(ェ+1) として代入すると, 計算がラクになります。
第1章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

x=(√5-1)/2
というのは(1)より
両辺2乗して整理したら
x²+x-1=0
になるので
x²+x-1=0はx=(√5-1)/2を解に持つということです。

(2)でも、x=(√5-1)/2なので、xはx²+x-1=0という等式を満たします。これを利用して次数下げを行います。
2x³+5x²+3x-2を無理矢理x²+x-1を含む形に変形すると
2x³+5x²+3x-2
=2x(x²+x-1)+3x²+5x-2
=2x(x²+x-1)+3(x²+x-1)+2x-2
=(2x+3)(x²+x-1)+2(x-1)
となりますよね。
こうすることで、x²+x-1=0を代入すれば前半の項が丸々消えてくれて2(x-1)にx=(√5-1)/2を代入するだけでよくなって、楽だよねということです。

計算ミスしていたらすみません。ですが、要するに言いたいことはこういうことです。

ブドウくん

計算ミスってました。
2x(x²+x-1)+3(x²+x-1)+2x+1ですね。

別解
(1)よりx=(√5-1)/2のとき
x²=-x+1
この式は2次式を1次式に次数下げする式なのでこれを順番に使って下げていく。
x³=x²・x
=(-x+1)・x
=-x²+x
=-(-x+1)+x
=2x-1
なので
x³=2x-1
よって
2x³+5x²+3x-2
=2(2x-1)+5(-x+1)+3x-2
=2x+1

りょうすけ

ありがとうございました！

Answer 2

きらうる

(1)の2次式ぐらいなら、代入して計算してもそれほど面倒ではないけれど、(2)の3次式とかになるとちょっとめんどくさいよね。
だから、x＝√5-1/2が解の2次方程式をつくって、そいつを当てはめて次数下げを行いましょうよってことです。

具体的には、(1)の解説に書いてあるように、
x=√5-1/2が解になる方程式は、x²+x＝1　です。
x²＝-x+1として、
x³＝x(x²)＝x(-x+1)＝-x²+x
のように代入すると、3次式が2次式に変わります。
このような行うことによって、3次を2次に、2次を1次にして簡単に計算することができますよってことです。

りょうすけ

ありがとうございました！