数学
高校生

この問題が初見で出たときに、(2)の問題について
yに関して積分するという発想が出てきますか???

[復習問題) aを正の実数とする.放物線 y? = 4ax 上に 2 点 O(0,0) と A(x1, Vn)をとる。 1>0 として,以下の問いに答えよ。 (1) a>0 として,関数F(t)を F(t)={tt2 +a +alog(t+\t2 +a )} とおく.導 関数 F'(t)を求めよ。 (2) 点0から点Aまでの曲線の長さ Lを ,の関数として表せ.ただし,x=0 で値が 発散する関数 g(x) についてはI'g(x)de= lim "g(x)dx、と解釈する(a>s>0).
(2) =4az のとき 2y=4a du'つまり, _y であるから、(1)の F(t) を F。(t) とかき,Aが放物線 y=4az 上にあることより,y?=4az」が成り立つこと 復習問題 (2)yで積分すれば,直接(1)を利用できます。 解 (1) F(t) =} +a +alog(t+\F?+a)} より、 F(t)={1-2+a +t 2t 22+a 2 2t t+Vt?+a 2Vt2+a =((P+a+ t? T+a V2+a =t+a dz dy 2a と>0に注意すると、 L= da )+1 dy 2a +4' dy -F(g) dy=Fuala)| +1 dy= 4a 2a Jo 1 2a +4 +4d'log(y+\y"+4d' )}]。 11 1 4a -[yv+4a? +4q°{log(y+、y?+4a)-logV4a'}] {(+4d) 4a +4c*log++4c 『4c ++4a° 1 aV4az(4az+4a') 14az, +V 4azit+4a° V4a? +4°log Yit a =z(エ+a)+a log- Va ゆ注 問題文のただし書きは,放物線のy20の部分 について, a (エキ0) y=2/aVz de であることから、 dy de dエ= lim S→+0Js 1+ 1+ L= lim とした場合のためにあります。この場合は, z=t? と 置換すると,(1)が利用できる形になります。

回答

✨ ベストアンサー ✨

その発想を出させるための誘導の1番です。
数学の問題で行き詰まった時はその大問の誘導に乗りましょう。

魚見さん

順序としては、一目でyについて積分しようと発想するというよりかは、(2)をxについて解いていって、計算が煩雑になりそうだったらyについて解く というように方針転換するんですかね?

September

そうですね、普通に進めてこのままだとうまくいかなさそうと思った段階で1番が誘導であることを疑いましょう

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