Question

tkhsre

なぜ例題と練習問題とでは、D>0の条件と、f(x)≧or>0の条件での解き方が異なるんですか？
教えてください🙏

基本 例題125 2次方程式の解と数の大小 (1)
|2次方程式x-2(a+1)x+3a=0が, -1<x<3の範囲に異なる2つの実数解を
指針>p.192, 194 で学習した放物線とx軸の共有点の位置の関係は, そのまま 2次方程式の解
注意[1]の(*)のように, aの値に関係なく, 常に成り立つ条件もある。
195
OOO0
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
【類東北大)
基本 123,124
重要127」
と数の大小の問題に適用することができる。
すなわち,f(x)=x-2(a+1)x+3aとして
2次方程式f(x)=0が-1<x%3で異なる2つの実数解をもつ
→放物線 y=f(x) がx軸の -1ハx\3の部分と,異なる2点で交わる
したがって D>0,-1<軸<3, f(-1)20, f(3)N0 で解決。
3
CHART 2次方程式の解と数kの大小 グラフ利用 D, 軸, f(k)に着目
1
解答
この方程式の判別式をDとし,f(x)=x°-2(a+1)x+3aとす
る。方程式 f(x)==0 が -1<x<3の範囲に異なる2つの実数
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x%3
-1<軸く3
エ
の部分と,異なる2点で交わることである。
したがって,次の[1]~[4] が同時に成り立つ。
[2] -1<軸く3
[4] f(3)20
!ON a+1
-1
3
x
13f(-1)20
-(-(a+1)}}-1-3a=a"-a+1=(a-→)+
4
よって, D>0は常に成り立つ。
12] 軸は直線x=a+1で, 軸について
-1<a+1<3 すなわち -2<a<2
[3] f(-1)20 から
の
0(8-0-)(8-
(-1)。-2(α+1).(1)+3a20
ゆえに
5a+320 すなわち az-
3
5
(4] f(3)20から
3°-2(a+1)-3+3a20
ゆえに
-3a+320
0<@
すなわち as1
0, 2, 3の共通範囲を求めて
-3
-2
2
3
5
a
Sas1
5

徳習 2次方程式 2.x°-ax+a-130 が,-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつような定数a
125 の値の範囲を求めよ。
判別式をDとし, f(x)=2x°-ax+a-1とする。
題意を満たすための条件は, 放物線 y=f(x) がx軸の
-1<x<1の部分と,異なる2点で交わることである。
したがって,次の [1]~[4] が同時に成り立つ。
[2] -1<軸く1
-1<軸く1
a
(0 +-%3 (S ニ1
x
[3] f(-1)>0
[1] D=(-a)°-4·2(a-1)=a°-8a+8
a°-8a+8=0 を解くと
よって,D>0 すなわち α"-8a+8>0の解は
S
D>0
0S(「十ロー) ー (8+
a=4±2、2
a<4-2/2,4+2、2 <a… の
0Sし。
そx=-
a
[2] 放物線の軸は直線x=- で,この軸について
2-2。
4
4
20
>0
a
-1<<1
よって
-4<a<4… ②
[3] f(-1)>0 から
もたない。
1
の
よって
3
2
[4] f(1)>0 から
これは常に成り立つ。
2-12-a-1+a-1=1>0
-2
1
a
14-2/2
2
4
4+2/2
0~③の共通範囲から -<a<4-2/2
-4
2
の)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

例題125の関数は、常に判別式正を満たしますが、練習125の関数は満たさないこともあるからです。

tkhsre

満たさなかったら、条件を反しているのではないのですか？

ブドウくん

そうですよ。だから、実際に①の範囲外のところは答えの範囲から除外されています。

tkhsre

除外されるのはそうだと思います。それは、①②③が含まれるところ以外が範囲外だと捉えて、そこは除外されるということですか？

ブドウくん

判別式の条件から除外されるということは、当然共通範囲をとったとしても除外されています。

tkhsre

あっ、判別式が常にどんな値でも正で満たす場合と、ある範囲の間で正で満たす場合があって、前者の場合は、常に満たすからわざわざ数直線上に書かなくてもいい、だから判別式の条件以外の条件がすべて成り立っているところが答えってことですか？

ブドウくん

そういうことです！

tkhsre

なるほど！ありがとうございます！！