Question

tamako

すみません、(1)がよく分からなかったので、教えて頂けるとありがたいです🙇‍♀️

1
0=32+→
とする。点々が円 |||=1上を動くとき,次の間に答えよ
1) wをえの偏角 0を用いて表せ、
(2) 点wはどんな図形をえがくか.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Suya

(1)
lzl=1より複素数zはz=cosθ+isinθと表すことができる。

w=3z²+1/z²=3z²+z⁻²=3(cosθ+isinθ)²+(cosθ+isinθ)⁻²
ド・モアブルの定理より
w=3(cos2θ+isin2θ)+{cos(−2θ)+isin(−2θ)}
=3(cos2θ+isin2θ)+cos2θ−isin2θ
=4cos2θ+2isin2θ

(2)も必要があれば言ってください😶

tamako

ありがとうございます、(1)理解できました。

申し訳ないのですが、(2)が考えてもよく分からなかったので、教えていただくことは可能でしょうか…？🙇‍♀️

Suya

x,yを実数として
w=x+yiとすると、(1)の結果と比較して
x=4cos2θ
y=2sin2θ
つまり
cos2θ=x/4
sin2θ=y/2
ここで、sin²2θ+cos²2θ＝1を満たすから

x²/16+y²/4=1

よってwは楕円を表す。

tamako

ありがとうございます、理解できました🙇‍♀️