数学
高校生

横向きですみません💦
(2)なんですけど、(2)も(1)と同じようにkが正でD<0の判別式で解いてしまいました
私には(1)(2)の違いが分かりません
教えてください!

(2) すべての実数x, kx°+(k+1)x+k$0 がよ (1) のx, x+ax+a+3>0 がように、 140 基本例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式) 0000 定数aの値の範囲を定めよ。 p.135 基本事項 うな定数をの値の範囲を求めよ。 CHART OSOLUTION 定符号の2次式 常に ax+bx+c>0 → a>0, D<0 常に ax°+bx+c<0 → a<0, D£0 (1) xの係数は 1>0→ D<0 であるaの条件を求める。 ことに注意。kキ0 の場合, kく0 かつ DS0 であるkの条件を求める 解答 (1) x+ax+a+3=0 の判別式をDとする。 x°の係数は正であるから, 常に不等式が成り立つ条件は ←下に凸の放物線が常に x軸の上側にあるため の条件と同じ(p.135基 本事項2参照)。 0>α D=a°-4·1·(a+3)=α°-4a-12=(a+2)(a-6) ここで D<0 から, 求めるaの値の範囲は (2) kx°+(k+1)x+k<0 [1] k=0 のとき, ①は これはすべての実数xに対しては成り立たない。 [2] kキ0 のとき, 2次方程式 kx?+(k+1)x+k=0 の判別 式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立 つための条件は ここで -2<a<6 ① とおく。 下に凸 0ラx 0>I k<0 かつ D<0 D=(k+1)?-4·k·k=-3k°+2k+1 (2)問題文に「2次」 不等式 とは書いてないので、 k=0 の1次不等式の場 DS0 から 合も調べる。 0ミ(I-)(I+\E) 2Cf kS-. 1Sk k<0 との共通範囲をとると k< 以上から,求めるkの値の範囲は 050 ーラ

回答

✨ ベストアンサー ✨

・2次不等式は「2次関数とx軸の位置関係の話をしているもの」
・2次方程式は「2次関数とx軸の交点の話をしているもの」
・判別式Dは2次方程式の解の公式の√の中の部分のこと

という3つの内容は理解しているでしょうか?

今回の問題は2次不等式です。

(1)の問題ですと
2次不等式「x^2+ax+a+3>0」は
「2次関数y= x^2+ax+a+3がx軸より大きい、すなわち高いのはいつか?」ということを表しています。
それの答えが「すべての実数x」になるということは「常に2次関数y= x^2+ax+a+3がx軸より大きい、すなわち高い」・・・①になればいいということです。

①は言い換えると考えている2次関数が下に凸なので「2次関数y= x^2+ax+a+3がx軸と交点を持たない」・・・②ということです。

②は言い換えると「2次方程式x^2+ax+a+3 =0が実数解を持たない」・・・③ということです。

③は言い換えると「2次方程式x^2+ax+a+3 =0の解の公式の√の中、すなわち判別式Dの値がマイナスになり実数解が0個の状態になる」・・・④ということです。

よって「2次不等式x^2+ax+a+3>0」というのは「2次方程式x^2+ax+a+3 =0の」判別式D<0」ということになります。

(2)の問題ですと
2次不等式「kx^2+(k+1)x+k≦0」は
「2次関数y= kx^2+(k+1)x+kがx軸より小さい、すなわち低いのはいつか?(ただし≦なので接する時はオッケー)」ということを表しています。
それの答えが「すべての実数x」になるということは「常に2次関数y=kx^2+(k+1)x+kがx軸より小さい、すなわち低い。(ただし≦なので接する時はオッケー)」・・・①になればいいということです。

ここで(1)と(2)での大きな違いは(2)はx^2の係数が「k」なので2次関数「y=kx^2+(k+1)x+k」は
i)k<0で上に凸のグラフの可能性
ii)k>0で下に凸のグラフの可能性
iii)k=0で二次関数ではなく一次関数になる可能性
の3パターンがあるということです。

ただしk>0で2次関数「y= kx^2+(k+1)x+k」
が下に凸のグラフの場合、どんな状態でも絶対にいつかはx軸より上にグラフがくるので今回は考えなくていいです。(①にならないことが明白なので)

よって
i)k<0で上に凸のグラフの可能性
iii)k=0で二次関数ではなく一次関数になる可能性
の2パターンは場合分けしてそれぞれ考えていく必要があります。

i)k<0で上に凸のグラフになる場合

①は言い換えると考えている2次関数が上に凸なので「2次関数y=kx^2+(k+1)x+kがx軸と交わらない、または接する」・・・②ということです。

②は言い換えると「2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0が実数解を0個または1個(重解)である」・・・③ということです。

③は言い換えると「2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0の解の公式の√の中、すなわち判別式Dの値がマイナスになり実数解が0個の状態になる、または判別式Dの値が0になり実数解が1個(重解)の状態になる」・・・④ということです。

よって「2次不等式kx^2+(k+1)x+k≦0」というのは「2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0の判別式D≦0」ということになります。

ぎゆう

いろいろなパターンを出して正確に分かりやすく教えてくださりありがとうございます!
この考え方が分からなくて何度か点数を落としてしまっていたことがあったので次は得点できるようにしっかり復習しておきたいと思います!!

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