Question

❄️

この問題の⑵と⑶で場合分けをするとき(i)a=0(ii)0<a<1(iii)1≦aにするのは何故ですか？

実数a, bに対して,f(x)=r°_3a°r+2-6 とする。ただしa0 である。このとき
次の問いに答えよ。
口(1)f(1)-f(a) を因数分解せよ。
口(2) 区間0SrS1における関数 f(x)の増減を調べよ。
口(3) 方程式f(x)3D0 が0Szs1の範囲に実数解を持つためのa. bについての条件を
め,その条件を満たす点(a, b)の範囲を ab平面上に図示せよ。
(13 滋賀大·経済(後期)

f(1)-f(a)=3-3a°-b-(-2a°ー6+2)= 2a°-3a°+1
= (a-1)(2a°-a-1)=(a-1)°(2a+1)
(答)(A
因数定理を利用する。
クa
a=1のとき,
f(1)-f(a) = 0
であるから,f(1)-f(a) は
(a-1)を因数にもつ。
ーa
f(z)= 3r"-3a%= 3(r+a)(x-a) Fia
f'(x)= 0 となる』の値は,c==±aである。
(i) a=0のときB
f(x)= 3.r°20
よって,f(z)は単調に増加する。7上がリッぱなー
(i) 0<a<1のとき B
0Sr<1における f(x)の増減表は次のようになる。
Tea
0=ヶ
B POINT
導関数に文字係数を含む
ときは場合分けをして増
減を調べる
極値をとる値r=aと
0SrS1 の位置関係で場合
分けする。
0
a
1
f(z)
f(z)
極小
よって,f(x) は,
区間 0<xSaで単調に減少する。区間 aSxハ1で単調に増
加する。

() 1Saのとき(B
0SェS1の範囲では,常に zーα= (r+a)(α-a)<0だから,
f(z)= 3(z°-a°) <0
よって、f(z)は単調に減少する。
(i)~)より、f()の増減は、
地演あが答えでも○K
c POINT。
a=0のとき、
単調に増加する
f(x)=0 が区間で実数
解をもつ
→リ=f(x) のグラフ
が区間でr軸と共有点を
もつ
0<a<1のとき,0Kzsaで単調に減少する
(答)
aSrS1で単調に増加する
単調に減少する
1Saのとき、
振り返り
Oieck 口場合分けをして増減を調べることができたか
D
0SrS1 でr軸と共有点を
もつようなグラフは次のよう
になる。
(3) 方程式f()=0 が0<rs1の範囲に実数解をもつための条件
は,y=f(z) のグラフがェ軸の0SzS1 の部分と共有点をもつ
ことである。C
YA
0
O
1F
/01を
ER思考カン
0<a<1のときは, f(a) が
極小値となるので, グラフが
0SrS1 でェ軸と共有点を
もつ場合は次の図のような場
合がある。
(i) a=0のとき
(2)より、f(z)は単調に増加するから,D
f(0)=2-6S0 かつ f(1)=3-620
であればよい。よって,2b<3
(i) 0<a<1のとき
YA
YA
al
(2)の増減表より,
A0
これらすべての場合を式で表
すと,f(a) S0 かつ「f(0)20
または f(1)20」 となる。
f(a)S0 かつ「S(0)20 または f(1)20」
E
であればよい。ここで,
f(a)S0→ -2a°-6+2<0 →2-2a+2
f(0)20→2-620→652
F
b=2, b=-3a°+3 のグラフ
は,2=-3a°+3 より,
a=+
で交わる。
3
よって,0<a<1のとき,
「bS2 または b<-3a°+3」
を満たす点(a, 6)の範囲は次
の図のようになる。
bt
f(1)20→ 3-3a°-b20 →bs-3a°+3
よって,①は,
62-2a°+2 かつ 「b<2 または b< -3a°+3」
F
したがって,
1
のとき,-2a+2<b<-3a+3
V3
3
0<a<
2
1
6=2
-ハa<1のとき,-2a°+2<bい2
() 1Saのとき
(2)より,0Srs1で f(x) は単調に減少するから,
f (0)=2-620 かつ f(1)==3-3a°-bs0
であればよい。よって, -3a°+3<b<2
(i)~)より,求める条件は、
1
G
a
0
/36--3a°+3
0SIS1 でr軸と共有点を
G
もつようなグラフは次のよう
になる。
A!
A
Nla!