Question

ソユン　서윤

数Ⅲ 微分　標問46
答えは出たんですが、「0<2α<1 のとき不適であることを示さないと不完全」なのはなぜですか？
そもそも場合分けする必要性を感じません。
x≧0で　f’’(x)≧0 (でないといけない)ので、
2α≧1 よって答え、で何か問題がありますか？

108 第2章微分法とその応用
標問 46
不等式の成立条件
不等式 1-arscos.z が任意の実数zに対して成り立つような定数αの
範囲を求めよ。
(早 大)
ok
図形的には,y=cos.c の下方に納
まる限界の放物線を求めることが問
題です。そこで, 標問 41 の方針にしたがって文
精講
π
2
字定数を分離し:
1-cos x
Q2
右辺の関数の最大値を求めるという考え方もで
きますが,面倒です。
ここは,単に
f(x)=cos.r+ar-120
が成り立つようなαの範囲を求めると考えた方
が簡単です。その際,f(x) は偶関数なので, cの
変域をr20 に制限できることに注意します。
また。
f(x)=-sin.r+2αx
の符号の変化はわかりにくいので,もう一度微分
するのがよいでしょう.
解法のプロセス
右辺一左辺= f(z) とおく
は
変域をr20 に制限
f(z)はわかりにくいので
f"(x) を調べる
解答
α<0 とすると, a
1-ar21>cos.z
を満たすェがあるので, α>0 である。
不等式の両辺は偶関数だから,
f(x)=cos.z+ar"-120 (r20)
が成り立つαの範囲が求めるものである。
f(z)=-sin.z+2αz
f"(x)=-cos.r+2α
(i) 2021 のとき
f"(z)20 より f'(x)は単調増加で, f'(0)=0
であるから,
f(x)20(z20)
よって, f(z)は単調増加で, f(0)=0 であるから,
合たとえば エ=
2
合ェの変域を制限する
合f(x)の符号は不明なので
f"(x)を調べる

の5
109
(0マ) 0ミ(T)
(i) 0<2«<1 のとき
(0<れく)
Y4
f"(20)=-cos.To+2α=0
2
1
y=2a
を満たす ro が存在して,
f"(z)<0 (0<z<zo)
となる。すなわち,f'(z) は 0<ェ<zo で減少し,
f(0)=0 であるから,
f(x)<0 (0<rく.zo)
よって,f(z)は 0<r<.zo で減少し,f(0)=0
であるから,f(z)<0 (0<r<.ro)
これは,f(z)20 (z20) に反する。
4=COSX
0
Xo
π
X
2
(i),(i)より,求めるαの範囲は, 2α21
*0<2α<1 のとき不適である
ことを示さないと不完全
う
1
→研究
くf(x)の符号を直接調べる〉
解答と比べると多少説得力に欠けますが,
4(i)y=2ax
y=x
リ=2ax と y=sinc のグラフを利用して
f'(x)=2az-sinz
の符号を直接調べることができます。
まず,y=sin のグラフが0ハェハn で上に
凸であることと, 原点における接線が y=x で
あることに注意します。
(i) 2α21 のとき,
接線との傾きの比較から,
(ii)y=2αx
リ=sin.c
0|
Co
f(x)=2αz-sinz20 (z20) となります。
(i) 0<2α<1 のとき,
f(zo)=0 (0<.zoくz) を満たす.coが存在して, f'(x)<0 (0<.r<.zo) が
成立します。
以下, 解答と同様です。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

f''(x)≧0でなければいけない根拠はどこにありますか？

ソユン　서윤

すみません、私の解答を付け忘れていました
参考書の解答だと、場合分けが始まるところから下記のようにしました。（）内は解答には書いていません

f’(0)=0, f(0)=0より、f’’(x)≧0であればよい　x≧0
（単調増加を目指しているイメージ）
-cosx +2α≧0
2α≧cosx ⇦ここでcosxの最大値は1。図を書いた
（任意のxで題意を示さなければならないので）
2α≧1
α≧1/2

これで如何でしょう？

aporon

単調増加(減少)については、逆は成り立ちませんので
f''(x)≧0であればよい、という議論はできないですね

あくまでも、開区間で常にf'(x)>0ならば、閉区間でf(x)は単調増加

と、一方向性だけなので、単調増加してるはずだからf''(x)≧0だと結論づけることはできないかと

ソユン　서윤

f’’(x)≧0 ならばf’(x)は単調増加、f’(0)=0 なのでf’(x)≧0 となる
f’(x)≧0 ならばf(x)は単調増加、f(0)=0なので単調増加となりf(x)≧0 となる
で、今f(x)≧0が任意の実数xに対して成り立つαを求めたい

これを考えると「この時はf’’(x)≧0 なので〜」と言える気がします
答えを求めているんだからそれ以外が反するのは当然のことじゃないの？と思ってしまいます

例えると　1+1=2、終わり　だと思っていたところに、「2以外は適さない　よって2」
というのを書けと言われているような気持ちになってしまっています。

よろしくお願いします…

aporon

その方向性の議論では成り立つわけですよ

f''(x)≧0⇒f'(x)は単調増加　これはOKです(区間の話は置いときます)
それが、f'(x)は単調増加⇒f''(x)≧0というのは一概には言えないからねっていうのが注意点です。(ほとんどが微分不可の場合なので、見落とすことも多いけども)

これを考えると「このときは、f''(x)≧0なので〜」というのは、ソニンさんが書いてくれた議論を逆にたどっていく主張ですよ
つまり、f(x)は単調増加になってないとアカンから、f''(x)≧0だね
と、主張してることになります。

ソユン　서윤

なるほどです
やっと分かりました
逆が成り立たない時点で、記述上は直接答えのみ求めるということはできないんですね
丁寧にありがとうございました
フォローさせていただきます