したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は
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重要例題 83 折れ線の長さの最小ち長の鶏 A800000
A(2, 5), B(9, 0) とするとき, 直線 x+y=5 上に点Pをとり, AP+PB を
最小にする点Pの座標を求めよ。
【日本獣畜大)
基本79
CHART
折れ線の問題には 線対称移動
直線:x+y=5 に関して2点A, Bが同じ側にあるから考えにくい。
そこで,直線!に関してAと対称な点A'をとると
OLUTION
AP+PB=A'P+PB2A'B
等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるときである。…
ゆえに、直線と直線 A'Bの交点が求める点Pである。
解答
3
2点A, Bは直線しに関して同じ側にある。
直線:x+y=5 …① に
関してAと対称な点を A'(a, b)
とする。
11
合直線!に関して点Pと
点Qが対称→
[1] PQL!
[2] 線分 PQの中点が
51
A
3
AA'1l から
P。
直線!上にある
b-5
合直線AA'はx軸に垂直
ではないから aキ2
垂直→傾きの積
.(11)=D-1
B
a-2
0
2
5
9
よって
aーb=-3 2)
e
線分 AA'の中点が直線上にあ
5+6
-=5
2
るから
2+a
2
よって
a+b=3
2, 3 を解いて
A(0, 3)
ゆえに
a=0, b=3
介線分AA'の垂直二
線上の点は、2点A,
このとき
AP+PB=A'P+PB2A'B
よって, 3点A'. P. Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最
小になる。
から等距離にある。
よって AP=A'P
*2点A, B間の最短
路は、2点を結ぶ線分
A'Bである。
直線A'Bの方程式は
す+=1 すなわち x+3y=9
風線A'Bと直線lの交点を P。 とすると, その座標は
Po(3, 2)
0, のを解いて
x=3, y=2
ゆえに
(3, 2)
PRACTICE… 83®
*ソ=ラ+1 と2点A(1, 4), B(5, 6) がある。直線!上の点Pで, AP+
直線 :y
を最小にする点Pの座標を求めよ。
(類富
