数学
高校生

波線の式の意味がわかりません。どうやって導いたんですか?

Check 断化式と奴学的帰飛 例題 292 漸化式 an+1=pan+f(n) (カキ1) a1=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列fant の一般項 anを求めよ。 第8章 考え方 解答1漸化式an+1=3an+2n+3 において, nを1つ先に進めて an+2 と an+1 に関 る関係式を作り,引いて,{an+1-an}に関する新化式を導く. 解答2 an に加える(または引く) nの1次式 pn+qを決定することにより, と変ごき {an+ pn+q} が等比数列になるようにする。 解答1 an+1=3an+2n+3 : 0より、 an+2=3an+1+2(n+1)+3 2-0より, O bn=an+1ーan とおくと、 bn+1=3bn+2, のは①のnにn+1 を代入したもの 差を作り,nを消去 an+2-an+1=3(an+1- an) +2 する。 b=Q2-a=3a+2+3-a=11」 のより, a2=3a」+2+3=14 α=3a+2 より, より, bg以=3(b,+1), bi+1=12 したがって,数列(bn+1} は初項12, 公比3の等比数列 だから, bn+1=12-3"-1=4-3" bn=4-3"-1 Q=-1 n22のとき, 12.3"-1=4·33"-1 =4-3" n-1 n-1 an=ai+2b=3+(4·3*-1)=3+ 12(3-1-1) 3-1 k=1 k=1 =6-3"-1_n-2=2·3"-n-2 n=1 のとき,a=2·3'-1-2=3 より成り立つ、 よって, 6-37-1=2-3-3^-1 =2-3" n=1 のときを確認 an=2-37-n-2 解答2 p, qを定数とし, an+1+か(n+1)+q=3(an+pn+q) とおくと,a an+1=3an+2pn+2q-p もとの漸化式と比較して, 2カ=2, 2q-p=3 より, p=1, q=2| =3an+3pn+3q よ おしたがって, an+ュ+(n+1)+2=3(a,+n+2), ai+1+2=6 | り, anキ1=3am+2pn より,数列{an+n+2}は初項6, 公比3の等比数列 よって,antn+2=6·3"-1=2.3" より, an=2·3"-n-2 a=3 an+1+ pn+p+q m w +2q-p Focus 階差数列を利用して考える 注》例題291(p.515) のように例題 292 でも特性方程式を使うと,α=3α+2n+3 より, 出 となる。これより, an+1+n+=3(a,+n+3) な曲 順番になっていない 3 2 3 Q=-n- 2 5 ボで と変形できるが, 等比数列を表していないので, このことを用いることはできない。注 お Oチ ないロー 意しよう.(b.518 Column 参照) (出等) a,=2, an+1=2an-2n+1 (n=1, 2, 3, ……)によって定められる数列 {anl 292 について, (1) 6,=an-(an+B) とおいて,数列(bn} が等止比数列になるように定数 α. B の値を定めよ。 (2) 一般項 an を求めよ。 練習 (滋賀大)

回答

1つ上の行にある二項間漸化式の同値変形です。
形はテンプレートみたいなものがあり、そこに当てはめる値は特性方程式を作って特定しています。

特性方程式を学ぶことで理解できるようになると思います。

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