Question

たま

解答を読んでも分からないので教えていただきたいです

重要 例題6
n桁の数の決定と二項定理
OO0
(1)次の数の下位5桁を求めよ。
(ア) 101100
(2) 2951 を 900 で割ったときの余りを求めよ。
(イ) 99100
【類 お茶の水大]
基本1

これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり, また, それを要
1章
求されてもいない。そこで, 次のように二項定理を利用 すると, 必要とされる下位5
桁を求めることができる。
(ア) 10100=(1+100) 00-(1+10°)100
10"(n は自然数)に着目 して,下位5桁に関係のある範囲を調べる。
) 99100=(-1+100)= (-1+10°) '00 として, (1) と同様に考える。
(2)(割られる数)= (割る数)×(商)+(余り) であるから, 291 を 900 で割ったときの
商を M, 余りをrとすると, 等式 2951=900M+r(M は整数,0Sr<900) が成り立つ。
2951=(30-1)であるから, 二項定理を利用して,(30-1)' を 900M+r の形に変形
すればよい。
これを二項定理により展開し,各項に含まれる
解答
(1) -(ア) 10100-(1+100)3(1+10) 00
10-10
=1+100C」×10°+ 100C2×10-+10°×N
=1+10000+495×10%+10°×N (N は自然数)
この計算結果の下位5桁は,第3項, 第4項を除いても変
4展開式の第4項以下をまと
(oC。
めて表した。
10"×N(N, n は自然数,
n25)の項は下位5桁の計
算では影響がない。
わらない。
よって,下位5桁は
(イ) 99:00=(-1+100)°= (-1+10) 100
=1-100C」×10°+100C2×10'+10°×M
=1-10000+49500000+10°×M
=49490001+10°×M (M は自然数)
この計算結果の下位5桁は, 第2項を除いても変わらない。
よって,下位5桁は
(2) 2951=(30-1)91
10001
(展開式の第4項以下をまと
めた。なお, 99'00 は 100 桁
を超える非常に大きい自然
数である。
90001
1900=30°]
5C9×30°+5C50× 30-1
5iC4s) +51×30-1
-5C49)+1529
(-1)”は
rが奇数のとき -1
rが偶数のとき
=3051-51C」×3050+…
=30°(3049-51C」×3048+
=900(3049-51C×3048+…
=900(3049-51C;×3048+ 5:C19+1)+629
ここで,3049-51 C」 ×3048+… -5C49+1 は整数であるから、 0
29° を900 で割った余りは 629 である。
11529=900+629
3次式の展開と因数分解、二事定至

二項定理