Question

ひかり

41のような問題（場合分けが３つになる問題）と、
44のような問題（場合分けが２つになる問題）の違いを
教えてください。

ー塔
/ウ A
い)
41
(係数に文字を含む2次関数の最小値)
- STEP -
8
この関数の式を変形すると
●●●●STEP
y=(x-a)?-a? (0<x<1)
1 係数に文字を含む2次関数の最小値
関数 y=x°-2ax(0ニx%1) の最小値は次のように表される。
[1] a<70のとき
この関数のグラフ
は図[1]の実線部
-2a+1
分である。
最小
のとき
ア<as ウ]のとき
ウ<a のとき
イ
よって, x=0 で
最小値(0をとる。
a
ア
a
-d
2a…IO
1
x
エオ」a+カ
[2] 0<a<1のとき
この関数のグラフは図[2] の実線部分である。
よって, x=aで最小値 -a' をとる。
[3] 1<aのとき
この関数のグラフは図[3]の実線部分である。
よって, x=1 で最小値三オー2a+カ1をとる。
42 定義域に文字を含む2次関数の最大値
関数 f(x)=-x°+6x-4 (α<x<a+1) の最大値はaの関数で表される。
これを M(a)とすると, 次のように表される。
a<ア]のとき
アSas[エ]のとき
0-0
える
y
M(a)=-a°+イ ]a+ ウ
M(a)=[オ
M(a)=-a'+ カ |a- キ
1
a
2a
0
x
エ<a のとき
a1
2a
-2a+1
最小
O
最小

「アSa<[ ウ のとき
-a
2
ウKa のとき
エオ]a+[ カ]
このとき
y=(x?-4x+3)?
+4(x?-4x+3) ー1
だけ平行移動すると, a=1のときの①のグラ
フと一致する。
20
42 定義域に文字を含む2次関数の最大値
関数 f(x)=-x?+6x-4 (aSxハa+1) の最大値はaの関数で表される。
これを M(a)とすると,次のように表される。
a<ア]のとき
|アSas エ]のとき
S
- CHECK -
-2
45 (2 次方程式)
(1) 左辺を因数分解して(xー2)(4.x-3)=0
=+ 4-1
=(+2)?-5
のにおいて, yは!=3
で最大値エオ20 をとり,
t=-1で最小値カキー4をとる。
44 (2 次関数とグラフの種々の問題) - TRIAL、
2次関数のは
y=ーx?+(2a+4)x+b
49 3)
M(a)=-a°+ィ ]a+ ウ
M(a)=[オ]
M(a)=-a'+カ a- キ]
3
1
アx=2,
4
4
-2 → -8
-4
よって
-3
4
6
エ<a のとき
(2) 解の公式により
ー(14)土V(-4)-4·2.(-9)
X=
2.2
2土(22
|2
4土V88
4土2、22
43 4次関数の最大·最小
(1) 関数 y=x*-6x°+1 (-1<x<2) の最大値を次のようにして求めた。
力
4
4
CK
=ー(xー(a+2)}+a'+4a+b+4
よって,①のグラフの頂点の座標は
2土V22
X=
ィ
よって
2
(a+72, a?+イ 4a+b+"4)
この頂点が直線y=-4x-1上にあるとき
a?+4a+b+4== -4(a+2)-1
整理して b=-a'-*8a-オカ13
f(x)= -x°+(2a+4)xーa°-8a-13 とする。
f(x) の0SxS4における最小値を考える。
[1] a+2<2すなわち
a<0のとき
f(x)の最小値は ラフ
f(4) = -a-13
-a-13= -22 とす
x=t とおくと, tのとりうる値の範囲はア]tsイ]であり、
y=-6t+1 と表せる。よって,最大値はウ]である。
参考 2次方程式 ax?+26'x+c=0 の実数解は,
ー6土V62-ac
62-ac20のとき
X=
a
(2) 関数 y=(x°ー4x+3)*+4x°-16x+11 (0<xい3) の最大値と最小値を
求めると,最大値は[エオ]最小値は[カキ]である。
52 この公式を用いて, 解を求めると
ー(-2)土V(-2)-2·(-9)
2土、22
X=
2
2
y
S(0)/
2土、22
X=
y=/は
よって
TRIAL
付D
きがり
2次関数 y=ーx°+(2a+4)x+b …… 1 のグラフの
(3) この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-8)2-4·1.(-2a)=8(a+8)
この方程式が実数解をもつための条件は D20
8(a+8)20
ウa2-8
参考 2次方程式 ax?+26'x+c=0 の判別式の
44 2次関数とグラフの種々の問題
ると
a?=9
ズ=a+2
であるから
a, bを気
a<0より
[2] a+222すなわち
a20のとき
f(x) の最小値は
f(0) = -a?-8a-13
a=-3
よって
頂点の座標は(a+ア] a+イa+b+ ウ])である。
以下,この頂点が直線 y=-4x-1 上にあるとする。このとき,
b=-a°-エa-[オカ]である。さらに, 関数①の 0<x<4における最
小値が -22 となるとすると, a=[キク] または a= ケ]である。
a=ケ]のとき, 関数 ①の 0ハxハ4 における最大値は[コサシである。
したがって, a=キク]のときの①のグラフをx軸方向にス] y軸方向
に[セソタ」だけ平行移動すると, a=[ケ]のときの①のグラフと一致する。
[2] y
S(4)
ソ=/は
符号の判定には,
D
-=(6)?-acを計算して
もよい。
-a?-8a-13= -22
とすると
S(0)
=a+2
(a+9Xa-1)=0
a20より
46 (2 次関数のグラフとx 軸の共有点)
(1) 2次方程式x?-3ax+2a°++a-1=0 の判別
式をDとすると
a=1
文の小景·大)
a=*クー3, ケ1 d
a=1のとき, ①のグラフの軸の方程式は
[1, [2] から
D=(-3a)?-4.1.(2a°+a-1)
イ=a-4a+4=(a-2)?
このグラフがx軸に接するための条件は D=0
であるから
[12 センター試験 改)
x=3
このとき,軸は0<x<4の範囲にあるから, U
10E+-=
の0SxS4における最大値は
(a-2)?=0
Ta=2
よって
1 2次関数の最大 最小 ●●e
-4a-9=-4.1-9==サシー13
また,Oのグラフの頂点の座標は
a=-3のとき(-1, 3),
a=1のとき(3, -13)
ゆえに,a=-3のときの①のグラフを,
*軸方向に 3-(1)=^4,
y軸方向に -13-3=tソター16
19
接点のx座標は
-3a
3
X=ー
2.1
Tのとりうる値の範囲は
-1StS3 ………②
これにa=2を代入すると
.2=73
(2) -x?+6x+1=0から
これを解くと
x2-6x-1=0
x=3土V10