Question

ちか

7のシとセソタチがわかりませんヽ(；▽；)ノ
解説お願いします┏○))ﾍﾟｺﾘ

実戦)
タイムリミット(20分
o(7) 絶対値を含む連立不等式
先生と太郎さんと花子さんは, 数学の授業で, 以下の連立不等式について考察している。と
先
|x-2a2-3
||x+a-2|<6
花
(2
太
3人の会話を読んで, (1)~ (3)の問いに答えよ。 ただし, aは定数とする。
える。
先
先生:まずは,不等式②に注目してみましょう。a=0 のとき, 不等式②の解を求め
てみてください。
太郎:[アイ」<x<ウ]となります。
先生:正解です。
花
太
花
ただし 解
序は
先
V(1) [アイ」
ウに当てはまる数を答えよ。
(A0)
消 る
ず
先生:次に,x=1 が不等式①を満たさないようなaの値の範囲を求めてみましょう。
太郎:x=1 が不等式①を満たさないから, 不等式①に x=1 を代入してもその不等
式は成り立たないよね。つまり, x=1 が不等式①を満たさないための必要十分
ま
O
条件は 1-2a I ]-3 だね。
さ
花子:もう一つ考え方があるんじゃないかしら。
不等式のをxについて解くと, x22a-3 となるか
ら,これを数直線で表すと右の図のようになるわね。
8.この図からx=1 が不等式①を満たさないとき,
1|オ2a-3 となることからもaの値の範囲が求められるわ。
太郎:確かにどちらの不等式を解いても, a_カ キとなるよ。
先生:そうですね。 2通りの考え方ができましたね。
2a-3
オ]
カ
に当てはまるものを, 次の0~⑥のうちから一つずつ選べ。
エ
ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
6 つ
0 <
の 2
また,
キ
に当てはまる数を答えよ。
(問題7は次ページに続く。)

S S
先生:さらに, 不等式 ② の解と,連立不等式①, ② の解が一致するようなaの値の範
囲を求めてみましょう。
花子:不等式 の解をaを含む式で表すと x>2a-3 だったわね。
太郎:不等式2の解もaを含む式で表すと
ーaーク ケ ×ココーa+ サ]となるよ。
先生:そうですね。では, A={x|x-2az-3}, B= (x||x+a-2|<6} とすると, 集
合Aと集合Bにはどのような関係が成り立ちますか。
花子:不等式2の解と, 連立不等式①, ② の解が一致するとき, シとなるね。
太郎:なるほど。このとき,Aス B という関係が成り立ちます。
花子:ということは, 求めるaの値の範囲は, aLセ
|ソタ
チ
だわ。?
先生:そうですね。 正解です。
12)
(3) ケ
コ, ス, セ]
に当てはまるものを, 次の0~ のうちから一つ
ずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。 +d+
0 >
0 く
の 2
O 0c 6 っ
@ C
また, シコ
に当てはまるものを,次の①~③のうちから一つ選べ。
0 A=B
0 ANB=A
2 ANB=B
O AUB=B
さらに, ク, サ], ソタ], チ]に当てはまる数を答えよ。
> p.4 O5,p.5 6
う+(x

(1) (1) 条件(x?>1 またはx°>0)の否定は
xい1かつx°<0
条件x>1の否定は x<1
よって, 命題 Aの対偶は
(3) 0 から x>2a-3
2から
-6<x+a-2<6
すなわち -a-4<x<-a+8 (ケ0, = 0)
ここで, A={x|x-2a2-3),
B={x||x+a-2<6} とすると, 不等式②と連立
不等式の, ② の解が一致するのは, AnB=B(0)
x<1ならば(x<1かつ<0) (76, イ @)
(2) (x2>1 またはx>0)を満たすxの値は @, 0,
0,0 であり, その中でx>1を満たさないもの
は0,0 である。
よって,命題 Aが偽であることを示すための反例
となっているものは @, 0
のときである。
集合 Aと集合 Bの共通部分が
集合 Bと一致するのは, 右の図
のようになるときであるから
AコB(O)
ここで,A={x|x>2a-3},
B={x|-a-4<x<-a+8}
であるから,AUBとな
るのは,右の図のように
なるときである。よって
A
9:xキ2
命題「p→ q」は偽。 (反例) x=2
命題「q → 」は偽。 (反例) x=1
よって,pはqであるための必要条件でも十分条件
でもない。
(pかつg)→> (x?=4かつxキ2)
2a-3S-a-4
2a-3 -a-4
ーa+8
→ x=ー2
-1
ゆえに a<(0)
ゆえに,命題「(かかつ)→かは真。
命題「カ→(かかつ)」は偽。 (反例) x=D2
よって,(pかつ9)はかであるための十分条件であ
るが必要条件ではない。
○ここを押さえる!O
(3) 一般に,集合 Aと集合 Bの包含関係は,以下
の5つの場合が考えられる。ただし,斜線部分
がANBを表している。
7.
《絶対値を含む連立不等式》
(ア)
(イ)
U-
(エ) 0
(ケ) 0
解答(アイ) -4
(ウ) 8
(オ) 0
U-
-A
B
O
0
(キ)2
(サ) 8
(ソタ)
(チ)
(カ)
(ク) 4
A
B-
(コ)
(シ) の
(ス)
-1
(セ) 0
3
(ウ)
U
-A
エ
-U
((思考の流れ))
(2)(太郎さんの考え方) x=D1が不等式①を満た
さないとき,①にx=1を代入しても成り立
たない。
B
(花子さんの考え方)不等式①の解は x22a-3
よって,この範囲に x=1 を含まなければよい。
(3) まずは,不等式①, ② をそれぞれ解く。 集合
Aと集合 Bの包含関係がどのようになっていれ
ば,連立不等式①, ② と不等式②の解が一致
するのかを考える。
(オ)
A(=B)
このうち,AnB=Bとなるのは (ウ), (オ)の場
合である。
(1) a=0 のとき, ② から |x-2| <6
すなわち -6くx-2<6
よって
-4<x<8
《2次関数の基本問題》
解答(ア) 2
(オカ) -2
(コ) 1
Vソタ) (21
8.
(2)(太郎さんの考え方) x=1が不等式①を満たさな
いとき 1-2a<-3 (①)
よって a>2 (①)
(花子さんの考え方) ① から x>2a-3
x=1が不等式①を満
たさないのは,右の図
のようになるときであ
り,その条件は
(イ)1
(キ)3
(ウ) 2
(ク) 1
(エ) 7
(ケ) 1
(セ) 3
(サシ)-2
(ス) 5
(1) y=x°-4x+5=(x-2)?-2°+5=(x-2)?+1
よって,頂点の座標は (2, 1)
(2) y=x?+2.x+10 のグラフをx軸方向に 2, y軸方向
に -3だけ平行移動すると
1 2a-3
X
1<2a-3 (0) すなわち a>2