Question

よんよん

(-1)・(-1)=1の証明について

実数の定義(写真の通り)のみから証明する
ただし、0×a=a×0=0は示されているとします

1+(-1)=0 (加法の逆元の定義)
(-1)×(1+(-1))=0 (両辺に-1をかける)
-1 + (-1)×(-1) =0 (乗法の単位元の定義および分配律)
(-1)×(-1)=1 (両辺に1を足す)

としましたが
a=bのときac=bc, a+c=b+c が成り立つ(両辺に足したり掛けたりしてよい)ことは証明しなくて良いのでしょうか.また証明が必要ならその方法を教えていただきたいです.

定義3.12.実数の集合 R とは次の性質をもつものである。
(A) 四則演算(+, -, x, +)をもつ,つまり,演算(+, x (')) をもち,次
が成り立つ。
i)(和の結合律) (a + b) +c=a+ (b+ c),
(a, b, ce R)
i)(和の可換律)a+b=b+a, (a, be R)
ii) (0 の存在) R の元0で,0+a= a, 'a € Rをみたすものが
存在する。
iv)(和の逆元の存在)任意の R の元aに対して a+6=0を
みたす R の元bが存在する.(-a のことです)

v)(積の結合律)(ab)c = a(be), (a, b, c e R)
vi)(積の可換律) ab= ba, (a,b€ R)
vii)(和と積の分配律)(a+ b)c = ac + bc, (a, b, c€ R)
viii) (1 の存在)Rの0とは異なる元1で,任意の R の元aに
対して1.a=aをみたすものが存在する。
ix)(積の逆元の存在) 0 でないRの任意の元aに対して,a-b= 1
をみたす R の元もが存在する.(a-1 のことです。)
(B) 大小関係をもつ。つまり a,be R に対して
a= b,
a<b, a>b
のどれか一つのみが成り立ち、しかも次の条件をみたす。
i) a<bかつも<cならば a< c.
i) a<bならば任意のceRに対してa+c<b+c.
ii)a<bならば任意のc>0に対して ac < bc.
(C) 上に有界な空でない部分集合は上限をもつ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

証明は不要です。

そもそも演算とは2変数関数(写像)です。
例えば+については、
+:R^2→R
+(2,3)=5
のようなものです。f(2,3)=5と同じ表記をしました。
a=bのとき
+(a,c)=+(b,c)
は当然成り立ちます。なぜならば(a,c)と(b,c)は同じR^2の元であるからその像+(a,c)と+(b,c)も同じだからです。

よんよん

ありがとうございます。納得しました。