✨ ベストアンサー ✨
これ、なんて不親切な解説だろうね。でも一方で、こんなやり方もあるんだ！と理解できれば武器になります。
(1)解説にでてくる式の考え方から説明します。
k(x²+y²+4x-2y-11)+(x²+y²-2x-6y+6)=0 -①
この式が、kの値に関わらず成り立つときはどんな時か考えてみます。
全体を足して0になっているということは、
kの掛かったカッコ内が0になる、かつ、kの掛かったいないカッコ内も0になる
ならば、kの値に関わらず式が0になりますね？
では、それってどんな点？っていうと、
カッコ内で表現された円上の点であれば、kの掛かったカッコ内は0になる。
同様に、kの掛かっていないカッコ内でも同様で、そのカッコ内で表された円上の点であれば0になる。
では、それを同時に満たすのは？
と考えると、二つの円の交点であれば、①の式は、kの値に関わらず0になりますね。
つまり、この式は常に2つの円の交点を通る、ということになります。
次に、①の式をあえて展開し、平方完成し、整理すると、円の式が出来上がります。
つまり、①は円を表している。（ただし、式の形からわかる通り、k ≠-1の時です）
上記の議論から、①は、二つの円の交点を通り、かつ、円を表していることが分かる。
であれば、①の式が、点(2，2) でも成り立つようなkを特定すれば、
問題の、2つの円の交点と点(2，2)を通る円、が完成する！
ということになります。
(2)
(1)で、①が唯一円にならないkの値が -1 でしたね。
では、k=-1の時、どんな図形になるでしょう？というと、x²+y² の部分が打ち消しあい2次の項消える。
つまり、直線になります。
※（x²+y²）を一つの塊とみて、代入した形ですね。
でも、①の2つの円の交点を通る、という性質は消えないので、2つの円の交点を通る直線ができあがります。
余談：(1)、(2)で、交点がない２つの円に対して、このようなやり方をすると、それはどんな図形になるでしょうか？笑
問題を解く、という意味では、地道に交点を計算し円の式に当てはめて、、、とやる方法もありますが、受験で早く解く必要があるならば、こういうやり方は知っていると便利です。
不明な点、疑問があれば追加で質問ください。
kをつけるのは、どっちでもいいですよ。丁寧にやるなら、文字二つ使って、それぞれにつけてもいいですよ。
少し一般化して説明する、f(x,y)=0,g(x,y)=0 という二つの関数に対して、その二つを表現する関数を作りたい場合、
二つの実数m,n を用いて
mf(x,y)+ng(x,y)=0 と書けます。
（f(x,y)が一つ目の円、g(x,y)が二つ目の円にあたります）
mとnの値を、0,1 とか、1,0 とかで設定すると、f(x,y)でも、g(x,y)でもできますね。
今回の問題の場合、それぞれの円自体を表す必要はないので、
mf(x,y)+ng(x,y)=0 の両辺を n で割り、
(m/n)f(x,y) + g(x,y)=0 となる。
(m/n)をkで置きなおしてやると、
kf(x,y) + g(x,y)=0
で問題のような使い方です。（※この形だと、f(x,y)を表すことができない
逆にmで割ってやると、g(x,y) の頭にkが付くので、どっちでもいいことが分かりますね。
> 交点がない二つの円に対して、そのような方法でやったときどうなるのか気になります笑笑
kの値により、虚数世界にとんでいきますね。
具体的な例を作りながら試すと、面白いとは思います。
> 読んでたら理論的には理解できたと思います！
> 感覚的には理解できてないかもしれませんが笑
素晴らしいじゃないですか。
数学は論理と感覚の両面あるので、感覚がもやもやするときは理詰めで考えると感覚が広がってきます。
論理で腑に落ちないときは、図形とか位置関係を式から感覚にすると論理が付いてくることもあります。
kでくくるときにどっちかでくくらないといけないとかありますか？？どっちにつけてもいいんでしょうか？
交点がない二つの円に対して、そのような方法でやったときどうなるのか気になります笑笑
回答と教科書を交互ににらめっこしながら
読んでたら理論的には理解できたと思います！
感覚的には理解できてないかもしれませんが笑