Question

異端

この問題の途中式でx^2-2x+2で括るんですがどうやったらx^2+px+a^3/2になりますか？

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第2章 複素数と方程式
標問 29
虚数解をもつ高次方程式
a, bは実数であり、方程式
エ+(a+2)rー(2a+2)r+(b+1)ェ+a'=0
が解ェ=1+iをもつとする、ただし、i=マ-1 とする、このとき、 a. bな
求めよ、また、このときの方程式の他の解も求めよ、
(東北大)
左辺をf(z) とおき、f(1+i) を計 法のプロセス
算し整理すると
精講
実数係数の方程式
(z)-0
F(1+i)=A+Bi (A, Bはa、bの整式)
の形になります. a, bは実数ですから、
A=0 かつ B=0
であり,この連立方程式を解けば、 a, bが決まり
ますが、計算量が多いですね、
実数係数の方程式 f(x)=0 が虚数解 α=D1+i
をもつならば、共役複素数の α=1-i も解であ
ることを使います。
(ェーa)(ェーa)=ェー2ェ+2
でf(x)を割り,「余り %3D0」 としてa、 bの値を決
めるのも1つの解法です。 解答ではもう一工夫し
てみましょう。
虚数解aが解
共役複素数aも解
(=)は
(ェーa)(ェーa)で割り切れる
解答
S(z)=r'+(a+2)rー(2a+2)ェ+(6+1)エ+α° とおく、
S(z)=0 は実数係数の方程式であるから、 複素数 α=1+i を解にもつことか
ら,この共役複素数 α3D1-i も解である。 f(z) は(ェーa)(ェーa) で割り切れる。
a+a=2, aa=2
より、
(ェーa)(ェーa)=ピー(α+a)エ+aa=r-2ェ+2
であり,エ'の係数と定数項に着目すると、 実数かを用いて
a)=(-2ェ+2(r+pr+)
とおける。これを展開したときのエの係数と 「 (x)のの係数とを比較すると
p-2=a+2
. p=a+4
これにより
)=(F-2r+2}デ+(a+0)x+

高次方程式 虚数解 複素数と方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

そもそも誤解しています。
何かの式を「x^2-2x+2で括って(式変形して)」、(x^2-2x+2){x^2+px+(a^3)/2}が出てくるわけではありません。

f(x)=0の解の1つがx=1+i
↓
x=1-iもf(x)=0の解
↓
f(x)は{x-(1+i)}{x-(1-i)}で割り切れる
すなわちf(x)は(x^2-2x+2)で割り切れる
↓
f(x)=(x^2-2x+2)( )･･･①の形で表現できる
↓
f(x)はxの４次式なので①の後ろ側の( )はxの2次式になる
↓
f(x)=(x^2-2x+2)(ox^2+px+q)･･･②
↓
f(x)のx^4の係数が1なので②の右辺も展開した時のx^4の係数は1にならないといけない。
x^2×ox^2=ox^4=x^4よってo=1
↓
f(x)=(x^2-2x+2)(x^2+px+q)･･･③
↓
f(x)の定数項a^3なので②の右辺も展開した時の定数項はa^3にならないといけない。
2×q=2q=a^3 よってq=(a^3)/2
↓
f(x)=(x^2-2x+2){x^2+px+ (a^3)/2}

異端

最初から誤解していたとは😅
大変助かりました！ありがとうございます！