Question

もももも

n=k+1 のときの式　(k-1)･2^[k-1]まで理解したんですが、なぜそれが0以上になるのかわかりません！！

練習 nは自然数とする。次の不等式を証明せよ。
②57(1) n!≧27-1
[名古屋市大〕
(2)n≧10 のとき 2
証明する不等式を ① とする。
(1)[1] n=1のとき
(左辺)=1!=1, (右辺) =2°=1
よって, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
2
(8+)
k!≧2k-1 ②+sic)(3)(1+++
n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると, ②から
あ
ゆえに
(k+1)!-2(k+1)-1=(k+1) ・k!-2k
≧(k+1) ・2-1-2.2k-1
(k+1)!≧2(k+1)-1
=(k-1)・2k-1≧0
よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。

数列 数学的帰納方程式

Answer 1

和

nは自然数なので、
今回の数学的帰納法ではk=1,2,3,…を想定しています

k≧1なのでk-1≧0であり、また2ᵏ⁻¹≧2⁰=1です
よって、(k-1)2ᵏ⁻¹≧0です

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