Question

シチューデント

○相加・相乗平均
学校で最小値と最小値をかけ合わしてはいけないと習ったのですが、この問題でかけ合わして良いのは何故ですか？

24 a>0, b>0, c>0, A>0 とする。 このとき、
k?
(a+)(b+)=(k+1)° と
なることを示せ。また, この結果を利用して,
(カ+)(+()()=(は+1)
となることを示せ。

24(前半)
a+
a
k?
+k2+1
ab
=ab+
の
a>0, b>0, k>0から
0<
k?
ab>0,
ab
よって,相加平均と相乗平均の大小関係より
k?
ab+
ab
k?
ab.
ab
=2k
等号成立は
k?
(かつa>0 かつb>0かつk>0)
ab=
ab
すなわちab=k のときである。
0, ② から
1
a+
b+
22k +k?+1
b
a
=(k+1)?
したがって
k2
6+
b
1
a+
2(k+1)?
a
(後半)a>0, b>0, c>0, k>0であるから,
3において, aをbに, bをcにおき換えると
k?
2
6+
c+
2(k+1)?
b
(等号成立は bc=kのとき)
③において, aをcに, bをaにおき換えると
k?
a+
C
(等号成立は ca==kのとき)
の, 6の各辺はすべて正であるから, 辺々を掛
けて
k?
k?
b+
C+
c+
a+
C
等号成立は bc=k かつ ca=kのときである。

相加・相乗平均 不等式の証明