Question

たちばな

数IIで問52（2）についてです。平方の差をとり、二乗の状態は証明できるのですが、その後の
2|a|-3|b|>=0より　となるのが理解できません。なぜこの状態が言えるのでしょうか？

(3)(x+y*)(x2+y2)≧(x+y3)2
(4)x+y^≧xy+xy
□52 次の不等式を証明せよ。 また,等号が成り立つときを調べよ。
(2) 2|a|-3|6|≦|2a-36|
*(1) 2|a|+3|6|≧|2a+36|
53 不等式√x2+y2≦x+yl√√x+y を証明せよ。

14-
ークリアー 数学ⅡI
(2)x2+2xy+5y2-4x-8y+5
=x2+2(y-2)x +5y²-8y+5
=(x+(y-2)-(y-2)2+5y²-8y+5
=(x+y-2)'+4y2-4y+1
=(x+y-2)2+(2y-1)20
よって x'+2xy+5y2-4x-8y+50
等号が成り立つのは, x+y-2=0 かつ
3
2y1=0, すなわち x=202, y=1/12 のときであ
る。
(3)(x+y(x2+y2)-(x3+y3)2
=x+xy+xy' + y° - (x + 2xys+y)
=x2y2(x2+y2-2xy)=xyx-y)'0
よって
(x+y^)(x2+y2(x+y3)2
等号が成り立つのは, xy=0 または x-y=0,
すなわち x=0 または y=0 または x=yのと
きである。
(4)(x+y^)-(xy+xy3)
=(x-y)x-(x-y)y=(x-ylx-y3)
=(x-y)2(x2+xy+y2)
=(x+/2/2)1+23220
よって
x+y^2xy+xy3
等号が成り立つのは, x-y=0 または
(x+2)+1=0のときである。
x-y=0より
3
v2.
x=y
(x+2/+2=0より+2=0 かつ y=0
すなわち x=y=0
よって, x=y または x=y= 0 のとき, すなわ
ちx=yのとき, 等号が成り立つ。
[2]2|4|-3|0|20のとき
両辺の平方の差を考えると
12a-3b12-(2a-3b2
=(2a-3b)-(4|a|2-12|a||69|6|2)
=(4a2-12ab+9b2)-(4a2-12ab+96
=12(lab-ab) ......
labab であるから
よって, ①から
labl-ab≥0
(1+(91)-9+9+96
+1
a
9b
+10
a
96
->0であるから,相加
24-3612120-30の大小関係により
2|a|-3|0|≧0,|24-360であるから
2|a|-3|0|24-36|
[1][2]から
a 9b
9b
+10≥2 b a
=2.3+10=
2|4|-3|0|≤|24-36|
等号が成り立つのは, 24-3620 かつ
ab=ab,すなわち2436 かつの
a
9b
すなわち a=3b
b
a'
きである。
53(x+yl)-(√x2+y2 ) 2
等号が成り立つのは,40
(2)次のように証明
中で行き詰まってしまう
b
>0, />0である
a
均の大小関係により
1+22√
=x2+2xyl+y2-x2+y^2)=2x12
よって
x+y2) 2
b
x+y2≧0であるから
a
辺々を掛けて
b
(√√x2+y^2(x+12)2
=2(x2+y2)-(x2+2xyl+y2)
また
...... ①
=x2-2|xyl+y2=(x-1)220
よって (√√x2+y^2(x+121) 2
√√x2+y^2x+20であるから
...... ②
√√√√x²+ y² ≥x+3
①,②から√x+y+√√x+y2
参考 左の等号はxy=0のとき,右の等号は
|x|=|| のときに成り立つ。
(1+0)(9+
すなわち
①自体は成り
12 以上ではな
もし①の等
(a>0.
すなわち
(a
52 (1) 両辺の平方の差を考えると
(2|a|+3|6|)2-|2a+36|2
=4|al2+12|a||6+9/6/2(2a+36)
=4a2+12|ab+962-(4a2+12ab+962)
=12(abl-ab)
①
ablab であるから lab-ab≥0
よって, ① から (2|a|+3|6|2|2a +36|2
2|al + 3/6/≧0,2a +36|≧0 であるから
2|a| + 3|6|≧|2a +36|
2
=2・3+6=12
6\/b
等号が成り立つのは, lab = ab すなわち ab≧0
のときである。
きしない
54 (1) a+
6 b 3
ab
18
+
2
+3+3 +
した
ab
わか
ab 18
+
+6
2
ab
-
18
55 a
ab
均の大小関係により
乗平
a
>0, ->0であるから, 相加平均と相乗平
ab
ab+18 +622 ab 18
2
よって
(a+1)( 1/2+3³½) ≥12
+6
C
(1)
等
(2)[1] 2|a|-3|60 のとき
等号が成り立つのは,a>0,6>0 かつ
ab 18
すなわち ab=6のときである。
2a-360であるから, 不等式は成り立つ。
2
ab

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

[2]は2|a|-3|b|≧0の場合です
冒頭で述べています
そのもとなので、(2|a|-3|b|)²≦|2a-3b|²から
2|a|-3|b|≦|2a-3b|がいえます

たちばな

場合分けすればよいのですね！ありがとうございます！