等差数列(a。), (6,} の一般項がそれぞれ a,ー4n-3, b,=7n-5であるとき、
の2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列に
Oo000
524
重要例題93 2つの等差数列の共通項
100
4(公差)- (nの
の一般項を求めよ。
指針> a=1+4(n-1)であるから, 数列 {an} の初項は1, 公差は4,
b。-2+7(n-1)であるから, 数列 (b,} の初項は2, 公差は7 である。
具体的に項を書き出してみると
+4は7回
+4 +4 +4 +4 +4 +4 +4
くくく
44, 51, 58,
37,
{an}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 6,
(6月}: 2, 9
16,
23,
30,
+7
+7
+7
2+
+7は4回
仁 公差4, 7の最小公倍数
よって {cn}: 9, 37, 65, …… となり, これは初項9, 公差28 の等差数列である。
このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない
年4と 2 92率降詳1鮮 ( 4丁量のO>多宗)
A) の解を求める方針で解いてみよう。
共通に含まれる数が, 数列 {an}の第1項, 数列{bn} の第 m項であるとすると
よって, 1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから キ=
この不定方程式を解く。
解として, 例えば, 1=(kの式) が得られたら, これを a=4l-3の1に代入すればよい
ただし, kの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討参照)。
=D
解答
4/-337m-5
4/-7m=-2
1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
ai=Dbm とすると
よって
6
1=3, m=2とした場合は
検討 参照。
4(7+4)3D7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
ゆえに
1+4=7k, m+2=4k
すなわち
1=7k-4, m=4k-2
と表される。
ここで, 1, m は自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221
より, kは自然数である。
よって, 数列 {cn}の第k項は, 数列{an} の第1項すなわち第
4んはんこ号かつにこと
満たす整数であるから, 目
然数である。
(7k-4)項であり
4(7k-4)-3328k-19
求める一般項は, kをnにおき換えて
数列 {b,}の第m項すなわ
ち第(4k-2)項としてもよ
Cn=28n-19
解として、例えは、!
ただし、 永の値の範囲に注意が必要である (右
ペーリリ模リD。
解答
4/-3=7m-5
47-7m=-2
a=b。 とすると
よって
A1=3, m=2とした場
検討 参照。
1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
4(1+4)-7(m+2)=0
4(7+4)=7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
ゆえに
1+4=7k, m+2=4k
と表される。
関すなわち
ここで, 1, mは自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221
より,をは自然数である。
よって、数列 {Ca}の第々項は, 数列 {am}の第1項すなわち第
(7k-4)項であり
1=7k-4, m=4k-2
5
くたはえ2ーかつた-
満たす整数であるから、
然数である。
数列(b}の第mす
ち第(4k-2)項として
4(7k-4)-3328k-19
求める一般項は, kをnにおき換えて
い。
C,=28n-19
文章にしてもらったおかげで頭の中でごちゃついてたことが整理されて理解出来ました😭丁寧な回答ありがとうございます！