|Y5aを実数の定数とする。整式 F(x) = x°+ax?-2ax+a-1 があり,F(x) をx-1 で割っ
たときの商をG(x) とする。
(1) G(x) を求めよ。
(2) p, gを実数の定数とする。xG(x) をx°+x-2 で割ったときの商が x+p, 余りが
5x+gであるとき,a, p, qの値をそれぞれ求めよ。
(3) xの整式 P(x) がある。(2)のとき,P(x) をx-1で割ると余りが -2, P(x) をG(x) で
割ると余りが5x--1 である P(x)を, F(x) で割ったときの余りを求めよ。
(配点 40)
配点(1) 10点、(2) 14点(3) 16点
解答
((2)の別解 2)
(のまでは本解に同じ)
xG(x)をx*+xー2 で割ると, 次のようになる。
(1) F(x)をxー1で割ると次のようになる。
+1-a
+ax
ーズ
xー1)
-2ax+a-1
+a
2ax
x*+x-2)x+(a+1)x+(1-a)x
+x
-2x
(1-a)x+a-1
ax" +(3-a)x
(1-a)x+a-1
x
+ax-20
(3-2a)x+2a
よって,xG(x)を+x-2 で割ると,商がx+aで余りが(3-2a)x+2a
よって,F(x)をx-1で割ったときの商 G(x) は
G(x) = x' +(a+1)x+1-a
である。
圏 G(x) = x* +(a+1)x+1-a
条件より,xG(x) をx+x-2 で割ったときの商がx+p, 余りが5x+qで
あるから
p=a
(1)より
{5=3-2a
xG(x) = x{x" +(a+1)x+1-a}= x"+(a+1)x?+(1-a)x … の
xG(x)をx'+x-2 で割ったときの商がx+p, 余りが5x+qであるから
+(a+1)x?+(1-a)x= (x*+x-2)(x+)+5x+q
l9= 2a
これを解いて a=-1, p=-1, 9=-2
圏 a=-1, p=-1, q=-2
すなわち
+(a+1)x*+(1-a)x= x°+(p+1)r°+(p+3)x-2p+q
(2)より
G(x)= x*+2
P(x)= (x-1(x+2)
P(x)を3次式 Flx)= (x-1)(x*+2) で割ったときの余りは2次以下であ
が成り立つ。
のはxの恒等式であるから, 係数を比較して
[a+1=p+1
(a=p
{1-a=p+3 すなわち {a+p=-2
るから,それをLx" + mx+n (1, m, nは実数の定数)とし、商を Q(x) とお
l0 =-2p+q
l9= 2p
くと
2, Oより a=-1, p=-1
このとき,Oより q=-2
P(x)= (x-1)(x?+2)Q(x)+l«? +mx+n
Plx)を G(x)= x+2 で割った余りが、 5x-1であり,⑤の右辺の
圏 a=-1, p=-1, g=-2
(x-1(x*+2)Q(x)は Glx)= x'+2 で割りきれるから、+mx+nを
G(x)= x*+2 で割った余りが, 5xー1である。
このときの商はしであるから
[(2)の別解1]
(Bまでは本解に同じ)
x'+mx+n= (x?+2)+5x-1
のより
Px)= (x-1)(x? +2)Q(x)+1(x?+2)+5x-1
また,P(x)をx-1で割ったときの余りが-2であるから, 剰余の定理よ
Bより
x+(a+1)x+(1-a)x= (x+2) (x-1)(x+p)+5x+q
©において
x=0 とすると0=-2p+q すなわち g32p
x= -2 とすると 6a-6=-10+q すなわち 6a=q-4… ®
x=1 とすると3=5+q すなわち q=-2
q=-2 をの, ®に代入して p=-1, a=-1
逆に,a=-1, p=-1, q=-2 のとき, ®について
(左辺)= x'+(-1+1)x?+{1-(-1)}x=x+2x
(右辺)= (x*+x-2)(x-1)+5x-2=(x-3x+2)+5x-2= x*+2x
り
P1)=-2
のより
3/+4= -2
=-2
Oより,求める余りは
-2(x*+2)+5x-1 すなわち -2x+5x-5
圏 -2x+5x-5
となり,左辺と右辺は等しい。
以上より a=1, p=-1, q=-2
圏 a=-1, p=-1, q=-2
