19.まず体心立方格子は写真の図1のような構造をとります。この球の中心部を点で表記して見やすくしたものが図2です(画像は両方ネットの拾い物です)。これを参考にしながら解説を読んでみて下さい。
(1) 図1で見ると分かりやすいと思います。図1に球が表記されていますが、この個数を数える問題です。まず真ん中に完全な球は1個入っていることが確認できます。次に頂点の部分ですが、これは球が8等分されています(半球が半分のさらに半分にされている、つまり1/2*1/2*1/2=1/8倍になっていると考えると分かりやすいと思います)。
これらの合計は1+1/8*8=2個となります(1個は中心の球、1/8は頂点の球でこれが8個ある)。なので体心立方格子には球が2個入っていることになります。
(2) 原子の半径を求める時は球同士が接している面を探します。どういうことか具体的に説明すると、図1を見たときに赤い点線部分は球同士が触れ合っていることが分かります(立方体の対角線上で球が触れている)。なのでこの赤い点線を通るように格子を切断します。切断したものが図3です(図1の長方形ABCDと図3の長方形ABCDは対応しています)。なお、格子の一辺の長さは表記が面倒臭いのでaとしています。
BCの長さは正方形の対角線なので√2a、ACの長さは三平方の定理から√3aです。球の半径をrとすると、図3から4r=√3aという関係が成り立ちます。つまりr=(√3/4)aとなります。あとは値を代入すればrは求まります。
(3) この問題は直接原子量を求めることを意識すると非常に考えにくいので、密度の定義から攻めていきます。密度の単位はg/cm^3つまり質量を体積で割った結果が密度ということになります。体積は勿論この格子の体積を表していて、質量は図1の球の総重量になります。なのでこの球の質量がいくらなのかを計算します。
球2個の物質量はアボガドロ定数(ここではNaと表記します)を用いて2/Na[mol]です。この物質量は金属の原子量をMとするとNa/M[g]となります。今回はこのMを求めるのが目的です。体積は先程言った通り、格子の体積なのでa^3[cm^3]です。なので密度の定義から写真の式1のような式が成り立ちます。あとは写真のようにMについて解けば原子量が求まります。本問は既に体積を計算してくれているのでかなり簡単に計算できます。一応答えは55.9になります。
20.
(1) 六方最密構造の原子の数も体心立方と同じようにして求めます。まず層の中心に3つ球があります。また、面の中心に球が2つあり、さらに頂点に球が12個あることが確認できます。面の中心にある球は半分にされているので1/2個、頂点は半球が三等分されている(正六角形は内角が120°なため)ので1/2*1/3=1/6個になります。なので球の合計は3+1/2*2+1/6*12=6個となります。
(2) 問題を分かりやすく説明すると、断面が一辺の長さがaである正六角形で高さがcの正六角柱の体積を求めろということです。正六角形は合同な正三角形が6つ集まっていることと、正三角形の面積は三角比の面積の公式1/2bc*sinAから1/2*a*a*sin60°=(√3*a^2)/4となり、正六角形の面積は(√3*a^2)/4*6= (3√3*a^2)/2となります。
結局六角柱の体積は (3√3*a^2)/2*c= (3√3*c*a^2)/2と求まります。
(3) これも体心立方と同様に考えます。六方最密には球が合計6つあるので、物質量は6/N[mol]となり、質量は6M/N[g]となります。体積は(2)で求めた体積を使って式2のように求まり、整理すると式3のようになります。
