Question

さくらもち

割り算のあまりの性質です。
これらが成り立つ理由が分かりません💦

整数 余りの性質

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

a = m*A + r

b = m*B + r'

と置いてみてはいかがでしょうか。(A,B は それぞれa,bをmで割ったときの商)

1.
　a + b = mA + r + mB + r' = m(A + B) + (r + r')

　　m(A + B) は mで割り切れるので

　　　※ a + b を mで割った余りは、 r + r' を mで割った余りに等しくなります。

2.
　a - b = mA + r - mB - r' = m(A - B) + (r - r')

　　m(A - B) は mで割り切れるので

　　　※ a - b を mで割った余りは、 r - r' を mで割った余りに等しくなります。

3.
　ab = (mA + r)(mB + r') = m²AB + r'mA + rmB + rr' = m(mAB + r'A + rB) + rr'

　　m(mAB + r'A + rB) は mで割り切れるので

　　　※ ab を mで割った余りは、 rr' を mで割った余りに等しくなります。

4.　二項定理 を使います。
　a^n = (mA + r)^n = (mA)^n + nC1*(mA)^(n-1) * r + … + nC(n-1)*(mA)*r^(n-1) + r^n

　　(mA)^n + nC1*(mA)^(n-1) * r + … + nC(n-1)*(mA)*r^(n-1)　は mで割り切れるので

　　　※ a^n を mで割った余りは r^n を mで割った余りに等しくなります。

さくらもち

ご丁寧にありがとうございました！
理解出来ました🙇🏻‍♀️