Question

あめ

α = (1+i ) /√2 とおく.ただし，i = √−1
Q(α) は Q 上のガロア拡大体である.
群 Gal(Q(α)/ Q) の構造とQ ⊆ M ⊆ Q(α) をみたす体 M
の求め方がわからないです😭😭

Q(α) = {c_1+c_2α+c_2α^2+c_3α^3 | c_1, c_2, c_3.c_4 ∈ Q}
こうやって解いていくのはどうかなと思って
やってみたのですが、なかなかうまく行きません(><)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あいうえお

まずはガロア群の構造から求めましょう。
αの最小多項式はX^4+1です。X^4+1=0の根は-1の4乗根です。したがってこの最小多項式の根は、
α,α^3,α^5,α^7
の4つです。
また、Q(α)のQ上の拡大次数が4なので、このガロア群の位数は4です。なので、Q(α)のQ上の自己同型写像を4つ求めれば、それがガロア群になります。実際に求めると、
ι:恒等写像
σ:α→α^7(=α^(-1))
τ:α→α^5(=α^(-3))
στ:α→α^3
の4つになります。さらにσσ=ι、ττ=ιなのでガロア群は位数2の巡回群2個の直積ということが分かります。これがガロア群の構造です。

あとはMを求める作業になりますが、これは難しいというよりただただ面倒な計算です。求め方の方針はガロアの基本定理を使います。つまりガロア群の部分群とQとQ(α)の間にある中間体には一対一の対応があるということです。
ガロア群の部分群は｛ι｝、｛ι,σ｝、｛ι,τ｝、｛ι,στ｝、｛ι,σ,τ,στ｝なので全部で５つです。これら部分群の写像で固定される元の集合を考えます。
例えば｛ι,σ｝が固定される体というのはQ(α)の元のうちσを作用させても変わらない元の集合ということです。
Q(α)の元は質問者さんが書いたとおり、
c_1+c_2α+c_2α^2+c_3α^3
で表されるので、σで固定される元は
c_1+c_2α+c_2α^2+c_3α^3=σ(c_1+c_2α+c_2α^2+c_3α^3)
を満たすはずです。これによりc_iたちの条件が分かり、中間体が求まるということです。

あめ

ご丁寧にありがとうございます！
とてもわかりやすいです！！