Question

ゲスト

この問題を教えてください

次の関数の最大値, 最小値を求めよ。

yッ5cos*ァ十6sinCOSメー3Sin*テ
考え方) 2倍角の公式, 半角の公式を用いることで, ッはsin2ヶとcos2ァの和て』

 

 

 

 

される。
ye ーー L6・ Sa  9 ーーで員全
三3sin 2ヶ十4 cos 2ヶ十1
三5sin(2x十@)十1   MAEL2 cose=そ。 sing=
ー1ミsin(2z填gw)ミ1 であるから   ー5十1ミッミ5十1 すなわち 一4yミ6

したがって 最大値は6, 最小値は-4 固

Answer 1

としさん

倍角公式ですが、加法定理の応用なので私は覚えていません。(いつでも導き出せるので)

sin(2x) = sin(x+x) = sinx*cosx + cosx*sinx = 2sinx*cosx
cos(2x) = cos(x+x) = cosx*cosx - sinx*sinx = cos²x - sin²x

よって
sinx*cosx = sin(2x)/2
cos²x = cos(2x)+sin²x = cos(2x)+1-cos²x より 2cos²x = 1+cos(2x)
　∴ cos²x = {1+cos(2x)}/2
sin²x = cos²x - cos(2x) = 1 - sin²x - cos(2x) より 2sin²x = 1-cos(2x)
　∴ sin²x = {1-cos(2x)}/2

これを与式に代入すると

y = 5*{1+cos(2x)}/2 + 6*sin(2x)/2 - 3*{1-cos(2x)}/2
となり 整理すると

y=3sin(2x) + 4cos(2x) + 1

ピタゴラス数(3,4,5)の直角三角形をイメージして
　sinα = 4/5 , cosα = 3/5 となる角αを仮定すると。

y=3sin(2x) + 4cos(2x) + 1 = 5{3/5*sin(2x) + 4/5*cos(2x)} + 1
　= 5{sin(2x)*cosα + cos(2x)*sinα} + 1
　= 5*sin(2x+α) + 1

ここで sin(2x+α) はsin関数の性質より -1≦sin(2x+α)≦1 となるので

5*(-1)+1 ≦ y ≦ 5*1 + 1
-4 ≦ y ≦ 6