Question

青リンゴ🍏

一次独立について調べたところ空間のベクトルa，b，cが1次独立とは、c＝pa+qbを満たす実数の組（p，q）が存在しないこと、と一枚目の写真で説明されてあったのですが問題の解説で、一次独立なのでAD＝sAB+tACとおける(t,sは実数)と書かれてあり、一次独立なのにsとtの値が存在してもいいのですか？
教えて頂けると嬉しいです…！よろしくお願いします🙇‍♀️

(2)空間のベクトルa, b, cが1次独立とは、cニpa+qbを満たす実数の組 (pb、q) が存在しないことです。
図形的なイメージとしては、a, b, cCを始点が一致するように平行移動して終点を結ぶと四面体ができるこ
とになります。

キネ

mee
), D(2, 5, る) が同一箇上

  
                                                                                                                                                                                                                                                                  

4 点 A(1, 2, 3), B(4, 3, ー-1), C(3, 4, 0
にあるようをな定数 の値を求めよ・

    
  
 

2。 3)、 AD=Q, 3, ター3)

 2放=3, 1一). AC=テ②⑫        =(1, 3, 。
の点で, AB, AC が

点Dは3点A, B, C を通る平面上

平面よで1 決独立なので.
AD=sAB十7AC (s, 7 は実数)

とおける.
Q、 3, <)三$3, 1, 9十72. 2 ー3)
3s十27王1
したがって。   s填27王3
ー4s一37王ター3
これを解ぐ と,

sデテー1, 7王2, <三1

よって, 求める値は。 <デー1
(別解) A(⑦②, B(の, C(c), D(②⑦ とすると,。 4点は同一

平面上の点より

プー 82上め十zc
(s十7zデ1, s,ち g は実数)

4 点を位置ベクトル    |
で考える.           |

 

 
  
 
  

とおける.
(の5) 2寺S( 2) 3)十(4, 3, ー1)
+g3, 4 0)
s十47寺3z三2
本           成分を比較する。
Cd
s十7キgデ1              ミエ5キッー1 を忘れ
これを解くと,                      ずに:
0二た=こ山Wの=の) る1
Oki 求める値は,。 るテ1
@)。B(⑥), C(<) のとき, P(⑰) が平面 ABC 上にある

sz+め十gc (s十7上gテ1)

 

 

1 4, 一3) を通る平面上に京PO, 》 0)
を                中か.721

ベクトル 数b 一次独立

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

一次独立とは
「平面上または空間上の全ての位置ベクトルを
表現するのに必要最小限のベクトルの組」のことです

わかりにくいので例を出します

まずxy平面での話をします
2つのベクトル𝒆₁=(1,0),𝒆₂=(0,1)を定義します
この2つベクトル𝒆₁,𝒆₂は基本ベクトルと呼ばれます

基本ベクトル𝒆₁,𝒆₂を使えば,
xy平面上の全ての位置ベクトルを表現できます
(例　𝒑(5,3) = 5𝒆₁+3𝒆₂)

この時、「𝒆₁と𝒆₂は一次独立である」と言えます
しかし、　𝒆₁と𝒆₂と𝒑は一次独立ではありません
なぜなら、𝒆₁と𝒆₂があれば𝒑を表現できるからです

また、
「一次独立でない」ことを「一次従属」と言います
ゆえに「𝒆₁と𝒆₂と𝒑は一次従属」です

一般に、平面ではベクトルが3つ以上あると
それらの関係は一次従属となります

では、xyz空間だとどうでしょうか
空間では基本ベクトルは3つ必要で
それらは一次独立となります

一般に、空間ではベクトルが4つ以上あると
それらの関係は一次従属となります

逆に,空間上のベクトルが
3つしかないのに一次従属であるなら
「その3つのベクトルは同一平面上にある」
と言えます、この問題ではこのことを使います

さて例題386は
「ABCDが同一平面上にあること」を示す問題です。

これは言い換えると
「3つのベクトルAB,AC,ADが一次従属」であることを示せばよいのです。

もっと言うと
「ABとACを使って,ADを表現」できれば良いのです

そして質問内容ですが、
解答には
ABとACは一次独立と書いてあります
これは AB=(3,1,-4),AC=(2,2,-3)では
お互いを表現できない(AB ≠ kAC)ので
ABとACは一次独立とわかります

そして
AD = sAB + tAC となる(s,t)が存在すれば
AB,AC,ADは一次従属であると証明できます

青リンゴ🍏

大変丁寧に細かいところまで教えて下さり本当にありがとうございます！！理屈までしっかり理解出来てとてもスッキリしました( *˙˙*)本当にありがとうございました！✨