Question

しまうま

cosの合成がわからないです！

Pの座標がなぜb.aなのか、また逆だと出来ないのかというところと、最後の加法定理の逆みたいなことをする時なぜcos（θ−β）になるのかがわからないです、、
cos（β−θ）とはなぜならないのでしょうか

すみません誰か教えて欲しいです！！！

注意 asin0+bcoseの形の式は, rcos(0-β) の形に変形する
こともできる。
座標が (6,α) である点をQとし, OQ=rとする。
また、線分 OQ がx軸の正の向きとなす角をβとすると
よって
r=√6²+a², b=rcos B,
a=rsinẞ
asin+bcos 0=bcos 0+asinė
=rcos ẞcos 0+rsinẞsine
=r(cos e cosẞ+sinesin ẞ)=rcos(0–ß)
152
a
ただし
a
sinẞ=
=
r
√a²+b², cosẞ=
b
b
=
r
√a²+b²
LA mi
YA
Q(b,a)
a2+62
a
B
0
b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

てと

全ての質問が良いところをついていますね。
sinの合成の目的と、その方法を理解すればcosの合成も問題なく理解できます。

①cos(β-θ)にならないのか。についてですがなります。「よって」の次の行で、加法定理の逆を用いると、cos(β-θ)になりますね。

ここで、三角関数の合成の目的をお伝えします。
それは「二つの三角関数の和で表されたものを一つにまとめるため」です。
一つにまとめることで、グラフが描けるようになったり、三角関数を含む方程式や不等式が解けるようになったのではないでしょうか。

例えばsinの合成をしたとして、
y=2sin(α-θ)に変形できたとしましょう。このグラフを考えるときに困りませんか？
y=2sin{-(θ-α)}ですから、このグラフはy=sinθのグラフをy軸方向に2倍だけ拡大し、θ軸方向に-1倍だけ拡大し、θ軸方向にαだけ平行移動したもの。と解釈しなければなりません。それなら、最初から
y=2sin(θ-α)の形に変形しておいた方が良いですよね。
余計に「θ軸方向に-1倍だけ拡大し」を考える必要もありません。

cosの合成も同様です。cos(β-θ)の形に変形するメリットがありません。それならcos(θ-β)の形に変形するのが便利だということです。

てと

すみません。長いですがお付き合いください。
②Qの座標がなぜ(b,a)なのか。逆だとできないのか。ということですが逆にしてみると分かります。

三角関数の合成の方法は、加法定理の逆を用いた瞬間にあります。
今はcosの形に合成したいので、
cos◯cos△+sin◯sin△のようになってほしいわけです。

もともとはasinθ+bcosθだったわけですから、
例えばcos◯cos△を作りたいなら、b=rcosβでないといけません。同じ理由でa=rsinβでないといけませんね。　　

もし逆で,つまり(a,b)のままでやるとsinの合成の形になってしまいます。(時間があれば、ぜひお確かめください)

長くなりました。かなり分かりづらく説明しているかもしれません、何でも質問ください🙇

しまうま

回答ありがとうございます！！！！！

最初のは、合成の目的は二種類の三角関数を一種類にして簡略化することだから、余計な計算が生まれないようにθを正にしておく方が楽みたいな理解で大丈夫ですか？

b.aの方は、aをsinで表すためにY座標に、bをcosで表すためにX座標に設定するみたいな感じですか？

また質問をしてしまって申し訳ないです🙇‍♂️
答えて頂けたら嬉しいです🙇‍♂️🙇‍♂️

てと

質問ありがとうございます！！

２つとも仰る通りです👍
1つ目について、「余計な計算が生まれないようにθを正にしておく方が楽」というのはグラフをかく以外に他にも場面があります。

cosの合成をしたとして
2cos(π/3 - θ)= √3という方程式に変形できたとします。
cos(π/3 - θ)=√3/2•••①なので仮に0≦θ≦2πのときでは、この方程式を解こうとすると、
【0≦θ≦2πより-2π≦-θ≦0】 よって-5π/3 ≦ π/3 -θ ≦π/3
この範囲で①において、
π/3 -θ = -π/6, π/6
【-θ = -π/2, -π/6 従ってθ=π/2 , π/6 】

ここで起きた面倒な場面は【】で囲んだ部分です。-1をかける部分が面倒になっていますね。不等式を解く際も同様です！

他に質問あればまたお願いします！

しまうま

回答ありがとうございます！！！

次のページが方程式なのでそれを意識して解いてみます！！！
今のところとっても理解できました！！ありがとうございました！！！！！！！！
また質問するかもしれませんがよろしくお願いします🙇‍♂️