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まず無理関数の部分から定義域はx+1≧0⇔x≧-1であることが分かります.
-1<x<0の範囲ではf(x)=-x√(x+1)でf'(x)=-√(x+1)-{x/2√(x+1)}=-(3x+2)/2√(x+1)です.
-1<x<-2/3ではf'(x)>0, -2/3<x<0ではf'(x)<0なので, x=-2/3で極大値f(-2/3)=2√3/9をとります.
またlim[x->0-]f'(x)=-1です.
一方, x>0の範囲ではf(x)=(3x+2)/2√(x+1)>0なので単調増加します.
またlim[x->0+]f'(x)=1≠lim[x->0-]f'(x)なのでx=0では微分可能ではありません.
一方, 関数f(x)=|x|√(x+1)は定義域全体で連続な関数です.
f(x)は-2/3<x<0で単調減少, x>0で単調増加するのでx=0で極小値f(0)=0をとる, といえます.
以上から関数f(x)はx=-2/3で極大値2√3/9, x=0で極小値をとることが分かりました.
