ページ3:

(1)の中心の座標は アイ
ウ である。
C の半径を, C2 の半径を 2, C1 の中心と C2 の中心の間の距離をdとする
と,= I
オ
r2= カ
キ
d=
クケであ
る。
r1, r2 とdの関係から, C1 と C2は2点で交わることがわかる。
(数学Ⅱ 数学B 数学C第1問は次ページに続く。)
-5-
(2104-5)

ページ4:

(2) 不等式
x2+y2-7y+|2x - 5y + 25| < 0
の表す領域について考える。
③
③の左辺は, 2x - 5y + 25 ≧ 0 のときは ①の左辺と一致し,
2 x - 5y + 25 < 0 のときは②の左辺と一致する。
(i) 不等式 2x-5y + 25 ≧ 0 の表す領域を D, 不等式 2x -
5y+25 < 0 の
表す領域をEとする。
原点は コ に含まれる。
・Cの中心は
に含まれる。
・C2の中心は
シ
に含まれる。
コ
D
シ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
①E
(数学Ⅱ. 数学B, 数学C第1問は次ページに続く。)
-6-
(2104-6)

ページ5:

(ii) 方程式
2x - 5y +25=0
の表す直線をl とする。
実数x, yが①と②の両方を満たすとする。 ①と②の左辺どうし,右辺
どうしの差をとると
2 (2x-5y+25) = 0
となる。よって,実数x, y は ④も満たす。
したがって, ス このことから, lは C1 と C2 の二つの交点を通る直
線であることがわかる。
ス については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。
点Pをl上の点とすると, PはC上にあり, かつ C2 上にもある
①点P を l 上の点とすると, PはC上にあるか,または C2 上にある
点P を C 上にあり,かつC2 上にもある点とすると, Pはℓ上にある
点P を C上にあるか, または C2 上にある点とすると, Pはℓ上にあ
る
点P を C上の点, 点Q を C2 上の点とすると, 直線 PQ はℓと一致
する
点PをC上の点点Q を C2上の点とすると, 直線PQはℓと交わ
る
(数学Ⅱ. 数学 B 数学C第1問は次ページに続く。)
-7-
(2104-7)

ページ6:

(i) 不等式
x 2 + y2-7y+ (2x - 5y + 25) < 0
の表す領域と (i) の領域D の共通部分をF とする。
また,不等式・
x2+y^ - 7y- (2x-5y +25) < 0
の表す領域と (i) の領域Eの共通部分をGとする。
不等式 ③ の表す領域は, FとGの和集合である。 これを図示すると
セ の灰色部分である。 ただし, 境界線を含まない。
(iv)③において,| 2x - 5y + 25|の前の符号を+からーに変えた不等式
x2+y2-7y-2x-5y +25| < 0
(5)
を考える。 ⑤の表す領域を図示すると ソ の灰色部分である。 ただし,
境界線を含まない。
(数学Ⅱ. 数学 B 数学C第1問は次ページに続く。)
-8-
(2104-8)

ページ7:

セ
ソ については,最も適当なものを,次の①~⑧のうちから一つ
ずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。 なお, ⑩~⑧では座標軸
を省略している。
C₁
C2
(4
C₁
C2
Ci
C₁
C2
11
C₁
C2
(2104-9)

ページ8:

第2問 必答問題)(配点 15)
(1) 二つの角 A, B に対し
A+B
sin A + sin B = 2 sin
COS
2
A-B
2
が成り立つことを示そう。
二つの角α,β に対し, 加法定理から
sin (a + β)= ア + cos a sin β
sin (α-β)= ア | cos a sin β
(3)
である。 ②と③の左辺どうし, 右辺どうしを加え, α =
イ
B = ウ とすると, ①が得られる。
ア の解答群
⑩ in a sin B
sin a cos B
sin² a
⑤ sinβ
cos a sin B
cos2a
cos a cos B
cos2 B
イ
ウ
については,最も適当なものを,次の①~⑦のうちから一つ
ずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
A
B
A + B
A-B
A+B
A
-
B
A+B
(5)
⑥
2
2
4
A-B
4
(数学ⅡI, 数学B, 数学C第2問は次ページに続く。)
-10-
(2104-10)

ページ9:

(2) 関数f(x) を
f(x)== sin(x + 1/2x)+ sin(x+量)
とする。
0≦x<2mの範囲でf(x) の最大値を考えよう。
①を用いると
f(x) = 2sinx + エ JCOS オ
と変形できる。
= 2 cos オ sin(x+ I
2 cos
オ は正の定数であるから, 0≦x<2mの範囲において, f(x) は
x =
で最大値 キ をとる。
I
カ
については,最も適当なものを,次の①~⑦のうちから一つ
ずつ選べ。 ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。
Ⓒ
O
0
キ の解答群
2
3
2
π
π
12
6
4
π
3
π
⑦ π
2
4
1
(2)
2
3 √
2
2
(6
√3
⑦ 2√2
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第2問は次ページに続く。)
-11-
(2104-11)

ページ10:

(3) αを0 <a く を満たす定数とし 関数 g (x) を
g(x) = sin(x + α) + sin (x + 24 ) + sin ( x + 34 )
とする。
花子さんと太郎さんは, 関数y= g(x) のグラフをコンピュータを用いて表示
させてみた。図1は,a = 0.5, a=1.0,a=1.5としたときのy=g(x)のグ
ラフである。これを見て, 花子さんと太郎さんは, 関数g(x)について話してい
る。
y.
図 1
y=g(x)
0.5
... a = 1.0
a = 1.5
花子: g(x)は,定数p, q を用いてg(x) = psin(x+g) と変形できそうだ
ね。
太郎: 三つの関数 sin (x+a), sin(x +2a), sin(x +3a) のうちの二つの
関数の和に ① を使うと, 残り一つの関数の定数倍にできるかな。
(数学Ⅱ, 数学B 数学C第2問は次ページに続く。)
-12-
(2104-12)

ページ11:

(i) ① を用いると, 関数 sin(x + α), sin (x +2a), sin (x+3a)のうちの二
つの関数の和 ク は、残りの関数 sin x + ケ の定数倍となる。
したがって, 関数 g(x)は
g(x)=
コ
] sin(x ·
+ ケ
と変形することができる。
ク
の解答群
⑩ sin (x + α) + sin (x + 2a)
sin(x + 2a) + sin ( x + 3 a )
ケ の解答群
◎a
コ
|の解答群
2 cos a
2cos 2 a
(2cosa +1)
(2cos2a+1)
① sin (x + α) + sin ( x + 3a)
①2a
3 a
- 2 cos a
③
- 2 cos 2 a
(5)
(2cosa +1)
(-2 cos2a +1)
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第2問は次ページに続く。)
-13-
(2104-13)

ページ12:

(!!)
a =
5
-zのとき,0≦x<2ヵの範囲において,g(x)はx=
6
サシ
ス
で
最大値
セ をとる。
48
|の解答群
0
1
-2
(5
3
/3 -1
(9)
-√3+1
2
3
-14-
⑦
-1
3 +1
(2104-14)

ページ13:

第3問(必答問題)(配点 22)
(1)k を実数とし,3次関数f(x) = 1/3 x-2x2+3x+k を考える。
(i) f'(x)= ア である。
x =
イ | のとき, f(x)は極大値
ウ
をとる。
x=
I のとき, f(x) は極小値
オ
をとる。
ア
|の解答群
x2-2x +3
①1ピー
x2 - 2x +3 +k
② x2 - 4x + 3
24
112x-3x² + 3x² + kx
x"
③ x2 - 4x +3 + k
⑤//x2x'+3
x4 - 2x3 + 3x2 + kx
3
ウ
オ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
2
0
1
2
3
3
4
k
-
+ k ⑦
2
2
4
-
+ k ⑧
+k
3
3
3
3
(ii) y=f(x)のグラフの概形は
k=0のとき カ
k > 0 のとき キ
である。
(数学II, 数学B, 数学C第3問は次ページに続く。)
-16-
(2104-16)

ページ14:

カ
キ
については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一
つずつ選べ。ただし、 同じものを繰り返し選んでもよい。
0
x
x
Wh
x
X
(数学Ⅱ. 数学B, 数学C第3問は次ページに続く。)
-17-
(2104-17)

ページ15:

(ii)(i)で求めた
イ
I のうち, 小さい方の数をαとする。
f(0) < 0 < f(α) を満たすようなkの値の範囲は ク
< k < ケ
であ
る。
kは ク < k < ケ を満たすとする。 0≦x≦αの範囲において,
f(x) =0を満たすxの値をβ とおく。 0≦x≦βの範囲におけるy=f(x) の
グラフと x 軸およびy軸で囲まれた部分の面積と, β≦x≦αの範囲における
y=f(x)のグラフとx軸および直線x=αで囲まれた部分の面積が等しいとす
る。
サシス
このとき, コ が成り立つ。 したがって, k =
・である。
セソ
(数学Ⅱ, 数学 B, 数学C第3問は次ページに続く。)
-18-
(2104-18)

ページ16:

ク
0
ケ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
2|3
2 3
4
3
5
2
(6)
2
3
4
3
32
9 - 3
2
コ の解答群
@ff(x)dx = "f(x)dx
②ff(x)dx = 0
①ff(x)dx = 0
③ f(x)dx = 0
(数学II, 数学B, 数学C第3問は次ページに続く。)
-19-
(2104-19)

ページ17:

(2)3次関数g(x) に対して, 与えられた条件のもとでy=g(x)のグラフの概形を
考えよう。
・次の条件 (a) を考える。
条件(a) g(0)= 0 かつg' (0) > 0 である。
後の①~⑦のうち, 条件 (a) を満たす関数y=g(x)のグラフの概形は
タ
チ
ツ の三つであり,残りの五つは条件 (a) を満たさ
ない。 ただし, タ
チ
ツ
の解答の順序は問わない。
・条件 (a) に加えて, 次の条件 (b) を考える。
条件(b) y = g'(x) のグラフは直線x=0を軸とする放物線である。
後の①~⑦のうち,条件 (a),(b) をともに満たす関数y=g(x)のグラフの概形
は テ
ト
の二つであり、残りの六つは条件 (a), (b) の少なくとも
一方を満たさない。 ただし, テ
ト の解答の順序は問わない。
・条件 (a),(b) に加えて,次の条件 (C) を考える。
条件(C) y = g'(x) のグラフは下に凸の放物線である。
後の①~⑦のうち,条件 (a),(b), (C) のすべてを満たす関数y=g(x)のグラフ
の概形は
の一つだけである。
(数学Ⅱ. 数学B, 数学C第3問は次ページに続く。)
-20-
(2104-20)

ページ18:

77
~
| については,最も適当なものを,次の①~⑦のうちから一つ
ずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
(0)
y
(6)
0 x
y.
(5
0
-21-
y
y
x
(2104-21)

ページ19:

「第4問~第7問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点 16)
数列{a}に対して
b = an+1 - an (n=1,2,3, ...)
で定められる数列{bn} を,{a} の階差数列という。
(1){a}の初項は1とする。 また, {a} の階差数列{bm} の一般項が
b=4n-1
で表されるとする。
(i)b1= ア であるから, a2=
となる。 さらに, b2= ウ で
あるから, as = エオとなる。
(数学Ⅱ, 数学 B, 数学C第4問は次ページに続く。)
-22-
(2104-22)

ページ20:

(ii)
nを2以上の自然数とする。 このとき
カ
ana bk
k=1
が成り立つことから
ax = キ
n2
ク n+ ケ
であることがわかる。
カ の解答群
n-1
①n
n+1
n+2
(1)
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第4問は次ページに続く。)
-23-
(2104-23)

ページ21:

|カ
(2)太郎さんは,①を変形するとZbk = a -a となることから,数列の和を
求めるために次のことを考えた。
k=1
発想
ある数列{d} の和を求めたいときは, 数列{cm}, {c} の階差数列が
{d} となるものを見つければよい。
太郎さんは,この発想に基づいて,一般項が
dn = (2n+1) ・2"
で表される数列{d} の和を求めることにした。
数列{c},{c} の階差数列が {d} となるもの, すなわち
(2n+1) ・2"=C+1-Cw (n=1,2,3, ･･･)
となるものを見つけたい。 太郎さんは,{d}の一般項がnの1次式と2” の積で
あることから, {c} の一般項が
cn = (pn+g) 2
と表されるのではないかと考えた。 ここで,p, q は定数である。このとき,
Cn+1 -C をn, p, g を用いて表すと
Cn+1-Cn=
コ
n+
サ}.2
となる。
よって, p= シ
|, q =
スセのとき②が成り立つ。
(数学Ⅱ. 数学B, 数学C第4問は次ページに続く。)
-24-
(2104-24)

ページ22:

以上のことから, すべての自然数nについて, 数列{d} の初項から第n項ま
での和は
dk
dk= ソ
•
2+1+
タ
となることがわかる。
コ
サ 解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
P
q
2p
2q
④(p + q)
⑤ (2p+g)
(p + 2g)
⑦ 2p+g)
ソ
の解答群
n-1
2n-1
n+1
2n+1
2n-3
2n+3
(数学Ⅱ. 数学B, 数学C第4問は次ページに続く。)
-25-
(2104-25)

ページ23:

(3) 花子さんは,一般項が
dn=(n2-n-1)・2
で表される数列{d} の和を求めることにした。 (2) の発想に基づいて考えると,
すべての自然数nについて,{d} の初項から第n項までの和は
Σ dk =
チ
・2n+1- ツ
k=1
となることがわかる。
O O
チ の解答群
3 n-3
5n+7
n2+3n-3
n2-5η +7
3n+3
④ne-n-1
⑦n2-3n+3
-26-
⑧
5n-7
n2+n+1
n2+5n-7
(2104-26)

ページ24:

第4問~第7問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。
第5問 (選択問題)(配点 16)
以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて33ページの正規分布表を用
いてもよい。
ある自治体では,地域の知識を問う資格試験(以下,資格試験) を毎年実施してお
り,200点満点のうち120点以上である受験者を合格としている。
(1)今年実施した資格試験 (以下, 今年の資格試験) における受験者全体の得点の平
均は116点,標準偏差は25点であることが公表された。 今年の資格試験の受験
者の得点は正規分布に従うとし, 得点を表す確率変数を X とする。 このとき, X
は正規分布 N(116, 25) に従うから, Y = ア とおくと, Yは標準正規分布
N (0.1)に従う。
したがって, 今年の受験者全体のうち, 120点以上である受験者の割合
P (X≧120) はおよそ イ である。
ア
の解答群
X-116
X-116
X-116
5
25
252
X-120
5
X-120
25
X-120
252
イ
については,最も適当なものを,次の①~⑦のうちから一つ選べ。
0.16
0.21
(2) 0.29
0.34
0.41
⑤ 0.44
6 0.50
0.84
(数学II, 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。)
-28-
(2104-28)

ページ25:

(2)この自治体のA地域では、多くの住民がこの資格試験を受験し、過去10年間
における合格率が毎年 40% (0.4) を超えていた。 太郎さんたちは,今年の資格試
験の合格率についても0.4より高いと判断してよいかを調べるために,A 地域に
おける住民の受験者の中から人を無作為に選び、その合否を調査することに
した。
(i) A 地域における住民の今年の資格試験 (以下, A 地域における今年の資格試
験)の受験者全体を母集団とし,母集団の大きさは十分に大きいとする。そし
て, A 地域における今年の資格試験の合格率を とする。 無作為に選ぶ人
のうちi番目の受験者が合格している場合は1, 合格していない場合は0の値
をとる確率変数を Wi (i = 1, 2,…, n) と定義する。 このとき,Wの確率
分布は表1のとおりである。
表 1
Wi
0
1 計
確率 1-pp
1
表1から,Wiの平均(期待値) E (W)は ウ となる。
また,Wの分散 V(W)について
V(W)={0-E(W;)}2(1-p)+{1 - E(W;)}?p
から,V(W)は I となる。.
ウ
エ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
O Þ
①1-p
②が
③p(1 - p)
④p² (1 - p) 2
⑤p+ (1-p)
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。)
-29-
(2104-29)

ページ26:

(ii) (i) の Wì, W2, ..., W" を、表1の確率分布をもつ母集団から抽出した大き
さ”の無作為標本とみなす。 このとき, 標本平均をW Wi + W2 +... + W"_
n
とおくと,”が十分に大きいとき,Wは近似的に正規分布 N (p, オ に
従う。
このWの確率分布を利用して, pが0.4より高いといえるかを, 有意水準
5% (0.05) 仮説検定を行い検証したい。 ここで, 統計的に検証したい仮説を
「対立仮説」, 対立仮説に反する仮定として設けた仮説を「帰無仮説」 とする。 こ
のとき, 帰無仮説は「p = 0.4」, 対立仮説は 「p 0.4」である。 これらの仮説
に対して,有意水準5%で帰無仮説が棄却 (否定) されるかどうかを判断す
る。
無作為に選ばれた 400人のうち, 184 人が合格者であった。 いま、帰無仮説
が正しいと仮定する。 標本の大きさn=400 は十分に大きいので, 標本平均
Wは近似的に平均が 0.4, 標準偏差がカの正規分布に従う。
√6=2.45 として用いると
P(W ≥
184'
=P(W≧ 0.46)
400
の値は
キ
となる。 よって,この値をパーセント表示した値は有意水準
5% より
ク
したがって,有意水準 5% でA地域における今年の資格
試験の合格率は0.4 より ケ
°
(数学II. 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。)
-30-
(2104-30)

ページ27:

©
オ
の解答群
Þ
① 1-p
p(1 - p)
n
p(1 - p)
⑤
p(1-p)
p(1-p)
n
n
n
カ
の解答群
6
6
3
3
16
5
25
100
250
500
2000
キ については,最も適当なものを,次の①~⑦のうちから一つ選べ。
0.0046
① 0.0062
0.0071
③3 0.0987
0.1112
0.3888
0.4013
⑦ 0.4929
ク の解答群
小さいから,帰無仮説は棄却されない
小さいから、帰無仮説は棄却される
大きいから, 帰無仮説は棄却されない
大きいから, 帰無仮説は棄却される
ケ
の解答群
高いと判断できる
高いとは判断できない
(数学Ⅱ. 数学 B 数学C第5問は次ページに続く。)
-31-
(2104-31)

ページ28:

(3) 太郎さんと花子さんは, (2) の仮説検定の結果について話している。
太郎:無作為に選ばれた100人のうち46人が合格者でも, 比率は同じ 0.46
になるから,仮説検定の結果は同じになるのかな。
花子: 試しに計算して調べてみようよ。
A 地域における今年の資格試験の受験者の中から無作為に選ばれた100人のう
ち,46人が合格者である場合について考える。
(2) の (ii) と同じ帰無仮説と対立仮説に対し, 有意水準 5% で帰無仮説が棄却さ
れるかどうかを調べる。 標本の大きさ〃 = 100は十分に大きいから, (2) の (ii) と
同様に,Wは近似的に正規分布 N(p. オ に従う。 帰無仮説が正しいと仮
定する。このとき, 6 = 2.45 として用いると
P(W≥
46
100.
P (W≧ 0.46)
の値をパーセント表示した値は有意水準 5% より
コ
したがって,有意水準 5% で帰無仮説は
サ
。
コ の解答群
小さい
① 大きい
サ |の解答群
棄却される
棄却されない
(数学II, 数学 B 数学C第5問は次ページに続く。)
-32-
(2104-32)

ページ29:

正規分布表
次の表は,標準正規分布の分布曲線における右図の灰
色部分の面積の値をまとめたものである。
0 Zo
Z
20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 20.07 0.08 0.09
0.0000 0.0040 0.0080 0. 0120 0. 0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.0398 0.0438 0.0478 0.05170.05570.05960.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.0793 0. 0832 0.0871 0.0910 0. 0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0. 1141
0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0. 1554 0. 1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0. 1879
0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
0. 4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
0. 4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0. 4934 0.4936
0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0. 4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
1.6
1.7
1.8
1.9
2.4
2.5
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0. 4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.1
3.2
0. 4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993
0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995
3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997
3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998
-33-
(2104-33)

ページ30:

第4問~第7問は,いずれか 3問を選択し, 解答しなさい。
第6問 (選択問題) (配点 16 )
平面上に,△ABC と点 M がある。
(1) 次の等式を満たす点Pを考える。
MP = MA + 2MB - MC
3点 A, B, C を図1の位置にとる。 ただし, 図1における△ABCは正三角
形,六角形 DEFGCA は正六角形である。
・M が A と一致するとき,Pは
ア
と一致する。
・MがDと一致するとき, Pは
イ
と一致する。
D
A
B
E
C
F
G
図 1
ア
イ
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
A
① B
C
(3 D
④E
F
G
(数学Ⅱ, 数学 B 数学C第6問は36ページに続く。)
-34-
(2104-34)

ページ31:

(2)a,b,c を実数とする。 次の等式を満たす点Pを考える。
MP = aMA + 6MB + c MC
花子さんと太郎さんは, (1) の考察から,Pの位置について話している。
花子: ① は a=1,6=2,c=-1の場合だね。 (1) で考えた二つの場合で
は,Mの位置によってPの位置が異なるね。
太郎:でも,a=1,6=0,c=0 の場合だと、②はMP
ら,Mがどの位置にあっても, PはAと一致するよ。
花子:Pの位置が変わらないのは,どのようなときかな。
= MA となるか
ここでは
Mがどの位置にあっても, ②を満たすPの位置が変わらない
ための a, b, cの条件を調べよう。
②の両辺を, A を始点とするベクトルを用いて表すと, 左辺は
MP= ウ
となり, 右辺は
a MA + 6MB + c MC
=
I
AB + オ AC + カ AM
となる。 したがって,②は
AP = キ |AB + ク
AC + ケ AM
と変形できる。
よって, M がどの位置にあっても, ②を満たすPの位置が変わらないための
必要十分条件は コ である。
(数学II, 数学B, 数学C第6問は次ページに続く。)
-36-
(2104-36)

ページ32:

@ O
ウ の解答群
AP + AM
- AP+ AM 2 AP AM
-
- AP - AM
I
~
ケ
a
(a+b+c)
(a+b-c)
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(1-a-b-c)
1 b
(- a+b+c)
(-a-b-c)
8
C
(a-b+c)
(1+a+b+c)
コ の解答群
O WO
a = b
a+b c = 0
a+b+c=0
b = c
(2)
c = a
ab+c=1
⑤
- a+b+c=-1
a+b+c=1
⑧
a+b+c= 1
(数学Ⅱ. 数学 B, 数学C第6問は次ページに続く。)
-37-
(2104-37)

ページ33:

(3) a, b, c, コ を満たす実数とする。 様々な条件のもとで, ②を満たす
点Pが存在する範囲を調べよう。
(i) a, b, c, コ とa= 12 を満たすとき,Pが存在する範囲は
である。ただし,△ABCの辺BCの中点をH, CA の中点を I,
辺ABの中点をJとする。
A
B
H
参考図
サ の解答群
直線AH
① 直線 BI
③ 直線 HI
直線 IJ
直線 CJ
直線 JH
(数学II. 数学 B 数学C第6問は次ページに続く。)
-38-
(2104-38)

ページ34:

(ii) a, b, c, コ
c0を満たすとき, Pが存在する範囲を図示する
と,
シ の灰色部分となる。 ただし, 境界線を含まない。
B
B
B.
については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。
A
A
A
-39-
B
A
B
C
B/
A
(2104-39)

ページ35:

|第4問~第7問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。
第7問 (選択問題)(配点 16)
zを0でない複素数とし, w=z+ 1/2とする。また,rを正の実数とし,複素
Z
数平面上で, 原点 0 を中心とする半径の円をCとする。
(1) z =
√3 + i のとき, |z| ア であり
イ
ウ
オ
w=
+
i
エ
カ
である。
(2) zC上を動くとき, wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数を2の偏角とし, 極形式を用いて z = r(cos0 +isin 0) と表す。
(i) w = z + を, 0 を用いて表すと
Z
W = キ + i ク
(1)
である。 したがって, 0 の値によらず ク | = 0 となるようなの値は
ケ
・である。
2rcos o
キ
ク の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
① 2rsine
③ (r + 1)sin 0
⑤
(1) sin
© (r+
sin 0
(r + 1) cose
(r - 1) cos 0
⑥r++) coso
r
⑧ r--cose
(-1/2) cos
r
sin
(数学Ⅱ, 数学 B 数学C 第7間は次ページに続く。)
-40-
(2104-40)

ページ36:

(ii) = ケ とする。 z がC上を動くとき, wが描く図形は コ
る。
であ
コ
については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。
y4
y4
-10 1
x
- 2
0
2 x
y4
34
1
y
2
x
O
x
1
0
x
y
-2
x
(数学Ⅱ. 数学B, 数学C第7問は次ページに続く。)
-41-
(2104-41)

ページ37:

(111)
キ ケ とする。 x, y を実数としてw = x + yi とおくと, ①から
x= キ
y =
ク
が成り立つ。 ② の二つの式からを消去すると, x, yは サ
を満たし,
zがC上を動くとき, w = x + yiは サ
の表す図形を描く。
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第7問は次ページに続く。)
-42-
(2104-42)

ページ38:

サ
|の解答群
◎+=1
=1
0-1
X2
2
(+1)
2
=1
+
-
y²
2
部
=1
=1
6967-1
+
部
+
④
(5)
x2
(r1)
x²
(-1)
( x + ± 1 ) ²
部
(r +
(+
y 2
= 1
= 1
I
(数学II, 数学B, 数学C第7問は次ページに続く。)
-43-
(2104-43)

ページ39:

(3) キ ケ とする。 z がC上を動くとき, w2 が描く図形を考えよう。
(i) w2 を z を用いて表すと, w2=
である。
シ の解答群
© 2+1
+
+1
+1
z2 +
+2
22 +
-
2
③ 22+2/22+26
i
(i) zがC上を動くとき,z+ 1/2が描く図形の方程式を考える。このとき,z2
は原点Oを中心とする半径の円を描く。 このことから,X,Yを実数とし
t22+1/2 =
= X + Yi とおくと, X, Yは ス を満たす。 以上を踏まえる
と, w2 が描く図形は
ス の解答群
であることがわかる。
X
Y
+
=1
1
r2+
m2
Y2
+
=1
X2
Y2
+
=1
r2+
(n-1)
X2
+
Y2
=1
部
=1
X2
+
y2_
Y2
(1² - 11 ) ³ (1² + 1+1 1
)*
X2
x2 +
Y2
部
=1
2
(数学Ⅱ. 数学 B 数学C第7問は次ページに続く。)
<-44-
(2104-44)

ページ40:

セ
| については,最も適当なものを,次の①~⑦のうちから一つ選べ。
(0
y
O
④
y
y
2
0x
y4
2
2
y4
x
0
x
y4
x
x
0
2 x
-45-
(2104-45)

ページ41:

第1問
C₁ x
Cz x
(1) C₁
x
2
2
+
+
y²-79+12x
-
5y + 25):
= 0
y²-79-12x 5y + 25):
-
= 0
+
x
+9
2
+ 2x
+
yz
-
2
79+12x
+ 2x
-
5y+25)
= 0
-
129 +25
= 0
2
-
129 +25 = 0
2
(x + 1)² - 1+ (4-6)²-6² +25=0
2
(x+1)² + (9-6)
(x+1)²
中心
(x + 1)² + (y -6)² - 12
=
+(4-6) 12
C, (-1, 6)
=
-
36+25=0
0
アイウ
半径 r =
112=213
I t
C₁
2
x² + y² - 7y - (2x
x
x
2
2
+ y
+
y
2
2
2 x
(x-1)²1
79
2x
-
5y + 25) = 0
2x + 5 y
- 25
= O
29
25 = 0
2
+
29
25
= 0
2
+
(x-1)2
+
(x-1)²+(9
中心 C₂ (1, 1)
(9-112
2
-
(Y - 1)² = 12-25=0
-
2
1)²
= 0
= 27
27
半径
=
/27
= 3/3
カキ
C₁ =
C の
2
(-1.6)
中心の距離
(1, 1)
d = /{1-(-1))² + (1-6)²
=
2² + (-5)²
=
14+25
=
129
クケ

ページ42:

(2)
x²+
g'-7g+12x-
5g
+ 25| <o
3
(i)
D:
2x
E:
5y+25≧0
2x 5y+25<O
-
原点
0
2.0
-
5.0
+25
= 2530
コ (O
C₁
の
•
C2
の
Dに含まれる
中心(-16)
2-(-1)
-
=
-
2
-
=
-
5.6 +25
70
30 +25
Eに含まれる
中心(11)
2.1 5.1 + 25
-
=
2
-
5
+ 25
=
22 ≥ 0
Dに含まれる
サ
(ii)
2x
5g+25=0
(4)
x
y
が ① と ② の
両方を満たすとき
は
C 上 点
の
P>
いし
C2上の点
② より
2
12x
5y
xg は
2x
-
+25) = 0
5 9+25=0
も満たす
(1,9) 18
l上
にある
点Pが
C上にあり かつC2上にある点とすると
P 1J
l上にある
ス
(2)

ページ43:

(ii) F:
x²+ y²
7g+12x
-
5y+25) <0 と
E
D:
2x- Sy+2520
Cの内部
の
共通部分
(ii)より C の
中心がEに含まれる
右図の
ようになる
G:
x+y^-7y-(2x-5y+25) <o
<0 と
E:
2x-5g+25<0 の共通部分
C₂ の内部
E
(ii)より しの
中心はDに含まれる
右図の ようになる
C₂
E
7g+12x 5g+251 <0
FUG:
2
x +
2
g
図示すると
セ
(iv) x²+y^-7g-12x-5y + 25| <o
2x-5y+ 250のとき
D:
x²+y
D かつ
E: 2人
-
(2 5y+25) <0
八-
C2の内部
5y+250のとき
x+y^-7g+(2x- - 5y +25) > 0.
かつ
C」の内部
図示すると
CI
E
D

ページ44:

第2問
(1)
Sin A
A + B
+ Sin B
= 2
A-B
Sin
cos
2
2
sin (α + B)
=
sin & cos B
+
Lin (α-B)
=
Sin
d
cos B
-
sin (α + B) +
Sin
(α-B) =
cos α sin B
cos α fin
ß
2 find cos B
A+ B
α =
ß
=
2
とすると
A + B
L+B
+
2
2-B
A + B
=
2
2
①
が得られる。
A - B
2
A
2
B
A B
-
=
=
2A
2
2B
2
= A
= B
(2)
5
f(x) =
sin (x+
R) +
sin (x + 1/2 )
12
0≦x<2匹
より
fu =
2 Fin
( x + 1/2 x ) + ( x + 1/1 )
12
ア
イ ④
ウ⑤
5
( x + 1/2 x ) - ( x + 1/717)
元
12
605
2
6
4
2x+
R
12
12
= 2 Ein
105
2
2
= 2 sin(x +
-) Cos
1/3
元
2
2
元
=
2 Lin (x +
- cos
I
4
6

ページ45:

= 2
cos-
6
sin(x+
kłx
2 cos
> 0
の定数
6
0 < x < 2 R
のとき
R
5x+
(2匹+
4
f(x)は
Lin(x+
2
4
大
)=1
のとき
最大値
厚
2
2 cos
+
=
2
J
2
fin lx+
(
4
x+
4
=
1の
=
B3
とき
=
2
兀
2
KNKNKXRx
4
元
厚
971
x =
で
最大値厚
カ③ + ⑥

ページ46:

(3)
O < a < π
9 (X) = sin (x + a) + sin (x+2a) +
9 (X)
=
P
sin (X+ q)
(i) ①より
sin (X + α) + sin (x + 3 a)
( x + α ) + ( x + 3a)
=
2 Fin
2
sin (X + 3a)
(x+α) - ( (x+3a)
cos
2
= 2
Lin
2x + 4 a
2
-2a
cos
2
=
2
sin (x + 2a)
cos (-a)
=
2
cos (-a)
sin (x+2a)
=
2 cos
a
Sin (x+2a)
sin (X + a)
+
sin (
(x+3a) 12
Lin
(x + 2α) 9
定数倍となる
ケ①
:
9 (1)
= 2
cos a
Lin (x + 2a)
+
sin (X+2a)
= (20+ 1) Iin (x + 2a)
コ 4
(ii)
5
a =
八のとき
6
-9 (x) = ( 2 cos / rc + 1 ) sin (x+2. — x)
=
6
21 +1) sin (X +
2
5
5
-π)
2
=1-3+1
-13
Sin
(x +
+ -πC)
3
Life,
0

ページ47:

- 3+1 <05)
g(x)が最大となるのは
sin
(X + 433
5
元)が
最小のとき
0≦x<2匹において
5
← R≤ X + >> R ≤ 2R + 3 e
3
g(火)は
sin(x+
元)
=
-|
の とき
3
最大値(+1)(-1) = 13-1
このとき
x+
43
R =
7
2
g(x)は
7
x=
2
=
=
21
R
R
5
7C
3
10
ITC
=
で
サシス
最大値 13-1
e ⑧
停
(12/27)

ページ48:

第3問
f(x)=1/2x²-2x^2+3人+k
(i)
f'(x)
f(x)
=
=
=
)
3
x
2
3x²
-
2.2x+3.1+0
4x+3
1X 1)(x-3)
-
= 0とすると
(x-1)(x-3)
x=13
= 0
f()の増減表
x
Fu
f(x)
+
☐
0
-
fl1=1/21-2
f(1)
=
=
3
3
4
+
3
0
+
2- +31+k
6
k
+
9
+h
3
+
P ②
f'(x)
+
f(3) = 1/3/31
=
9
-
2
2.3 +3.3+k
18+9
+
+
k
=
k
x =
1のとき
極大値 f/+k
4
+h
イ
ウ⑨
3
x =
3のとき
極小値
k
エオ⑤

ページ49:

(ii)
y=f(x)
k=0のとき
x=1のとき
粒大値 4
3
3
x1m
x=3の
とき
極小値
0
また x=0のとえ y=0
koのとき
グラフの概形
(2)
y
W
4
10
3
ス
4
y
x =
1のとき
極大値
+h>
3
3
+h
x =
3の
とき
極小値
k > o
また x=0のとき
y=
k >o
k
.
グラフの概形
3
(iii)
x=1
x= 3
イ
I
小さい方
d =
☐
f(0) cof(α)
k
f(0)
f(α)=f(1)
こ
=
3
+h
f (0) co< f (α)
4
k < 0
<
+h
3
k < o
4
4
0 <
+h
⇒
くん
3

ページ50:

くん
< 0
3
7 0 5 0
4 ckco
0≦x≦dにおいて
f(B) = 0
d
-So fluida - So" fins de
f(x) dx =
0 =
d
+
(x) dx
Så f (x) dx + S. funda
= So tres de + [o tus de
=
d
f(x)
To fix dx
fo fuxid x = 0
0
So +
(x)
3
= 1.' \ —— x² - 2 x² + 3x + k) dx
3
3
-
2--
3
2+3.
2
x
2
+
k x ] !
=
12
x
$
2
2
3
3
3
x +
2
x
2
3
+ kx)!
=(-1+1/+11-0
3
+
2
18
k
+ k
12
12
コ ①
α = 1
J.

ページ51:

12
+
k
Jo f(x)
12
+h
k
=
=
0
=
||
12
16
より
3
12
4
これは
くたく口を
3
満たす
☐
k.
=
サシスセソ
12

ページ52:

(ii)
第4問
b n =
Arti
-
an
階差数列
(1)
a₁ = 1
bn
=
(i)
b₁
4n-1
(n = 1, 2, 3, ...)
=
4.1
=
4-1
=
ア
a
=
a, + b,
1+3
4
イ
1=7
ウ
b₁ = az
a₂- a₁ = b₁
bz
bz
03-92
a 3
az
=
=
=
4.2
a s
bz
-
-
=
az
n ≥ 2
an
a2+ bz
=
4+7=11
エオ
のとき
n-1
=
a
+
k=1
=
+
I b k
n-1
(4k-1)
O
k = 1
=
1 +
4
n-1
Ľk
k=1
-
n-1
k = 1
=1+4 + (n-1){(n-1)+1} - (n-1)
= 1 + 2(n-1)-n
= 1 + 2n² - 2n
-(n-1)
n + 1
=
2n2
3
+2
....
キクケ

ページ53:

n-l
(2)
An
-
1-1
an =
a₁ =
a₁
n-1
+
k=1
Zba
k = 1
Ľ bh
= An-
a
k=1
dn
=
(2n+1)-2"
{cm}の階差数列が{d}
dn
=
Cnti
-
.: (2n+1). 2" = Cnti
② より
Cn
-
Cn
(n = 1, 2, 3.---)
n
と考える
C₂ = (pn+ q) 2"
(n+1 - C n = { p (n + 1) + q } 2"" - (pn + f) 2"
=
(pn-p+2)-2-2" - (pn+ q).2"
q)
.
= (2p+2p+28)·2" - (pn+2)·2"
=
{12p+2p+29)
nt 2 +29
P
=
( 2
= し
1
+
n
=
P
nt
2P
12P
+
+
g)
-
pn
-
・2
81}
.
P
n
n
2"
-
+
h
8)}.2"
81.2"
( 2 n + 1) · 2" = { pn + ( 2P+8)}.2"
2 =
| =
P
=
P
2
2
P
+
1 = 2.2 +
q
+
=
+
q
=
q
コ
サ⑤
3
3
のとき
シスセ
P
=
q
= 2
②が成り立つ
=
4
== -

ページ54:

=
Ch
18n+9).2"
=
(24-3)-2"
n-1
C₁ =
n-1
C +
I da
C
+ C dk =
Ch
k=T
n-1
Edu
=
Cn
-
C₁
k = T
n
I dk
k = 1
= Cnti - C₁
= = (2 (n+1)-39-2"+-
(2.1
3)·2'
=
(2n+2
-
3)2+1
=
=
12n 1)
(2n-1)
-
1
(2-3)2
2
n+1
n+1
2"
-
(-1)-2
+ 2
739
(3)
du inn - 2
dn =
(n²-n-1)-2"
Cnts
=
-
Cnti
Cn
n
Cn
Ch
=
Ip n
+
qn
+r) -2"
と考える
2
n+l
Cute - Cn = {p (n + 1)² + q₁ (n + 1) + V} · 2"
2
2
h
-
(
P
n
+
n + r) 2
= { pin² + 2n + 1) + q n+q+r1.2'2"
=
-
2
.
Pn + q n + r) · 2"
(pn' + 2 ph + p + qn + q + r). 2.2"
2
-
Ph
+94
+r)
2"
=
T
2 + 4ph
+
2P +
2
En +
28+21
2
Ph
-
qn
-
r )
2"
2
= { pn² + (4P + 2) n + (2p+28+r) 1.2"

ページ55:

(n²-n-1)-2" =
=
1 = P
Cuti
-
Cn
{ ph² + (4P + 2) n + (2p+29
+) 3·2"
+r
-|
=
4 P
+9
P
= 2P
=
+
2
q + r
I
4+9
300
T
- 8 +
「
=
4.1+9
=
|-
11
=
5
11
=
2.1 + 2(-5) +
-
-
10+ r
8+r
--
--
r
r
=
=
|- =
=
?
:
Ch
n
=
=
(pn² + q n + r) · 2
2
(n² - 5 n + 7) 2"
Cnt
- C₁
h
= { (n + 1) == 5 ( n + 1 ) + 7). 2"*1
-(1-5+7)-2
(n² + 2n + ) - 5n-5+7). 2h+i
Σ du=
=
=
n+l
(n² - 3n+3)
2
-
3 2
6
チ⑦ツ

ページ56:

第5問
(1)
200
点満
120
以上
合格
X
N (116, 25² )
Y=
とおくと、
-
25
116
N(0.1)に従う
X ≥ 120
の とき
120-116
Y 2
=
25
P1120)
4
25
= 0.16
①
=
=
0.5
-
P(Y≧0.16)
P(0.16)
=
0.5
0.0636
=
0.4364
0.44
0
0.16
イ ⑤

ページ57:

(2)
(i)
A地域
合格率
P
n人
合格 | 合格してない 0
Wi
○
計
確率
T-P
P
=
E (Wi) 0. (1 - p) + 1· P
V (Wi) =
=
=
=
To
2
=
P
2
- E (will² (1 - p) + { 1- E (wi) }² · P
(0-1) (1-P) + (1-p)²-p
2
p² (1-P) + (1 - p)².p
+
P (1-p) {p 11-1)}
=
P (1-P)
I
(ii)
W =
W₁ + W₂+
2
n
E (w) =
El.
W
1
+ W₂
n
+ Wn
+ Wn
-)
=
=
=
n
h
P
{ E (W₁ ) + E (W₂) +
(P + P +
np
+P)
+
El Wni y
☹

ページ58:

VIW)
=
VI
W₁
+ W₂+
n
+ Wn
)
=
=
n²
n'
☐
=
n²
{V(W.)
+ V|W₂) +
+
V (Wn)}
{111-P)
+ P(1-1)}
{P (1-P) + P(1-P) +
NP (1 - p)
P(1-P)
n
W
18
N (E (W) V (w))
N ( P
に従う
1 (1-1)
n
帰無仮説「p=0.4」
対立仮説
r
P>0.4
J
400人のうち
184
wは
N (P.
P(1-P)
)に従う
n
:
P
=
0.4
0.4 (1-0.4)
0.4 × 0.6
400
400
0. X X 0.6 x 100
4x6
400 x 100
40000
6
6
10000
1002
+ O

ページ59:

標準偏差
=
16
100
E(w)
a (w)
=
w
-
☑
100
0.4
N(0.1)に従う
W
:
Z
=
とおくと
2は
=
=
=
カ
P ( w ≥
1 ( 2 2
P ( Z z
P122
184
-)
=
P(W≧0.46)
400
6
0.46 0.4
√6
100
0
-
06×100
56
=
=
=
=
=
P
P
P
66
1 2 3
122
0.5
166
615
( 2 ≧ 16 )
(2≧2.45)
-
0.4929
0.0071
0.0071
=
0.71%
5%より
小さいから、
帰無仮説は棄却される
Po 0.4
= 2.45 より)
(P.33 より)
キ②
0
2.45

ページ60:

(3)
100人のうち
46人
n =
100
対立仮説 P > 0.4
帰無仮説「p=0.4」
r
Wは
N (E (W), a² (x))
N ( P
P(1-P))
n
に従う
V (w) =
E15)= P = = 0.x
P (1-P)
0.4 (1-04)
n
100
0.8 x 0.6
× 100
4x6
=
100
× 100
100'
2
2 X
6
100
2
a ( w ) =
100
·E (W)
W
a (w)
とおくと、Zは
2/6
100
=
ŵ
=
-
16
50
56
50
N(0)に従つ
0. X
46
| 1 w z
)
=
P ( w ≥ 0 4 6)
100
086
-0.8
0.06
=
1 ( 2 2
√
50
-)
=
P (z ≥
16
50
006
=
1 (22
3
√6
50
x b
=
P (Z ?
50
--
=
X
50
)
=
3
P ( 2 ≥
√
3/6
)
6

ページ61:

=
P ( Z ?
11/2
✗ 2.45)
(16=2.45より)
=
P12≧1.225)
P 1 2 2 1. 23)
=
0.5
-
0.3907
(P33 より)
0
1.225
N
=
0.1093
0.1093
10.93%は
5%
より
大きい
したが って 帰無仮説は
棄却されない
サ

ページ62:

第6問
(1)
MP
=
MA + 2MB - MC
M=Aのとき
A
=
=
AA + 2 AB
- Ac
ō + 2 A B - A C
=
2 AB
-
Ac
= 2 AB
+ FE
=
AF
+
FE
=
A E
E
と
32
ア④
P 1J
・M=Dのとき
DT
=
=
=
=
=
D A + 2 D B
DA
PA
DA
B
+ 2 DB
+ 2 DB
- PC
(DA +
- (PA
AC)
- DA
-
+ PB
DB
₤2
イ①
+ 2DB
PはBと

ページ63:

(2)
MP =
a MA + b MB + c
左辺
MP
=
AP - AM
右辺
a MA
「
+
Mc
b M B + c M c
=
a
AM M +
b (AB
-
AM) + c
(AC - AM)
=
a AM + b AB - bAM +
C
AC
-
C
AM
=
b A B + C A C
+ (-a-b
-
C) AM
I ①
オ② ⑦
②は
=
AP - AM b A B + C AC
+ (-a-b-c) AM
AP
=
AM
+ CAC + (1 - a-b-c) AM
キ①
②
ケ⑨
Mが
どこでも
必要十分条件は
a+b+
C
pが変わらない
1-a-b = 0
☐
C
|=
=
a+b+c
= ①

ページ64:

(3)
(i)
a + b + c =
T
MP = a MA + b M B + c
a + b + c =
(2)より
a =
2
AP - AM
=
MC
AP
=
=
→
b AB + C AC + (-a-b - c) AM
b AB +
b AB +
a + b + c
a =
1/2
より
2
=
CAC
AM
C AC
+ b + c = 1
1b + c = 1 — — — —
-
11/11/11/14
2
=
2
2
=
2
AP
=
=
b+c
b A B
2b
b + c = 1/2 = 1
AB
=
AP
AJ
=
より
+
AB
.
+ 2 C
2b + 2 c = 1.
AC
2
=
AI
2 b AJ + 2 C AI
2 b+2c = |
Pが存在する範囲は
直線IJ
AP
=
=
26 AJ
+(1-2b)AI
AI + 26 (AJ - AI)
=
AI
+ 2b IJ
より

ページ65:

(ii)
a+b+c = |
a + b +
C < O
C
=
より
=
= 1-a-c
=
AP bAB +
CAC
=
(i-a-c ) AB
+
CAC
=
=
(1 - a) AB +
=
(1- α) AB 12
「
「
AB-an-ci+CAC
CAB+CAC
C ( AC - AB )
( 1 - α) AB + CBC
直線 AB上の点
<より
C BC IJ
半直線 CB上の点
A
pが存在する範囲
は
③ シ
C

ページ66:

第7問
2 + 0
W = Z+
г >o
実数
C : 原点 中心 半径との円
(1) 2 =
121
=
√3 + i
2
1 (13)² + 12
=
14
= 2
=
3
+1
ア
(2)
W
=
=
=
=
2+
√(√ √ 3 + i )
+
i
Z
+
413+41
☑
53
4
+
+
13 + i
3
3
B
4
2
i
し
(i)
=
√3 + i +
(-i)
(3+1)(-i)
√3 - i
=
B3 + i
+
3-(-1)
5/3+31
=
x
イウエオカ
255
z =
CE
r ( cos 0 + i sin @)
W =
2+
2
1
+ ( cos 0 + i sin O)
Cos
0
i
Sin
0
I
1 cos
0
-
r
I cos 0 + i sin
in 0) (
cos
0
cos
0
i sino
r (cos² 0 - i² sin' O)
r { cos' 0 - (-1) sin' o}
i sin O)
i sin O)

ページ67:

(ii)
✓ =
cos
0
-
i sin O
( cos 0
-
i
V
(cos² 0 + sin² O)
r
W =
2+
=
=
01
よらず
W =
=
sin O)
r ( CUT O + i sind) +
r cos 0 +
+
( cos 0 - i sin O)
h
irsino +
+
cos 0
=) cord + i ( v
-
-
it sino
+) sind
r
# ⑥
7⑨
r_ — ) sind = 0.
r
= O
ro より
V
(1+1)
cos O
+
io
2 cos 0
-| ≤ cos 0 ≤ 1 8)
また
- 2 ≤ 2 cos 0 ≤ 2
-2≤ x ≤ 2
y = 0
コ
2
=
0
✓ =
=
1
ケ
-2
0
2
x

ページ68:

| # 1
( !!!)
W =
w =
x + y i
( r + ) card + i ( v - + ) sind
0
(3)
✓ + 1) = x
y = 1
-
-)
0503
+) sin o
x
cos O
y
==
sind
②
1 より
(2
cos² 0 +
sin² 0
2
(r++ )²
+
2
yz
-
r = 1
= M
(!)
2+
Z
=
z+
77 + + +27 + 2 + 1 7 +2 ].m
2
2
w²
=
=
2+ 2+
22
NU
2
Z²
+
+ 2
22

ページ69:

2
(ii)
Z
= r
2
-|
=
=
11
=
( cos 0 + i fin O)
2
( cos 20 + i sin 201
(22)71
r²
V
{
( cos 20 + i sin 20 )
cos (-20) + i sin (-201)
(cos 20
-
i sin 20 )
N
+
N
2
=
( cos 20 + i sin 201
+
(cos 20
i sin 20 )
2
=
p² cos 20 +
+
i. r² sin 20
H
cos20
し
Sin 20
=
(√² +
1/17) 00120
2
+
i. ( r = -1/2) sin 20
+
Z²
=
X =
X+Yi とおくと
( r² +
) cos 20
2
Y =
I sin 20

ページ70:

cos 20
r¯+
r
Y
=
Sin20
cos 20
2
+
sin²20=1 より
Y²
+
2
r² + 1)²
しょ
.).
Y
2
> 0,
r
>0より
r
2
=
ス②
ferent
2
くく
2
r
-| -|
2
<r
+
r
実軸方向が長軸の楕円
w² = z
2
+
+2
22
2
w
は
スの楕円を
実軸方向に2だけ平行移動したもの
実物との交点は
2-(+12) 2+(1/1)
√ ², o
>o
なので
相加平均と相乗平均の関係より
+
1/2
= 2.

ページ71:

2
-
(1² + 15-2
2
( r² +
wが描く図形は
③
セ
2-11/12)
2
Di
x