3 漸化式と数学的帰納法
例題
286 漸化式 anti = pantf(n) (カ≠1)
**
[Check]
ai=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an} の一般項an を求
めよ.
507
8
考え方
1
[解1 漸化式 αn+1=3an+2n+3 において, n を1つ先に進めてα+2 と α+1 に関
する関係式を作り、引いて, {an+1-αn) に関する漸化式を導く.
2 αに加える(または引く)nの1次式pn+g を決定することにより,
{an+pn+g}が等比数列になるようにする.
an+2=3an+1+2(n+1)+3
an+1=3an+2n+3
.....
････①より、
②
② ①より, an+2-an+1=3(an+1-an) +2
より
bn=an+1-an とおくと,
bn+1=36+2, b=a-a=2a+2+3=11
bn+1+1=3(6n+1) b1+1=12
したがって、数列{bn+1} は初項12, 公比3の等比数列
だから, bn+1=12.3-1=4・3" bn=4.3"-1
n-1
an=a+b=3+Σ(4.3-1)
n-1
n≧2のとき,
k=1
k=1
=3+
12(3-1-1)(n-1)
3-1-(n-1)
=6.31-n-2=2・3"-n-2
数
②は①のnn+1 列
を代入したもの
差を作り, nを消去
する。
①より,
a2=3a1+2+3=14
α=3α+2 より
α=-1
4・3=4・3・3-1
=12.3-1
,01
1
より、
*+。
初項12,公比3
6・3-1=2・3・37-1
=2.3"
n=1のとき, α=2・3'-1-2=3より成り立つ.
n=1のときを確認
よって an=2.3"-n-2
2
p, gを定数とし, an+1+p(n+1)+g=3(an+pn+g) とおくと,
an+1=3an+2pn+2g-p
an+1+pn+p+q
もとの漸化式と比較して, 2p = 2, 2gp=3より, か=1,g=2=3an+3pn+3q よ
り,an+1=3an+2pn
したがって, an+1+(n+1)+2=3(an+n+2), a1+1+2=6
ww
M
+2q-p
Focus
より,数列{an+n+2}は初項6,公比3の等比数列+
よって, an+n+2=6・3" '=23”より an=2.3"-n-2
a=3
階差数列を利用して考える
例題285(6505)のように例題286でも特性方程式を使うと=3+2+3より
