ページ3:

数学Ⅰ 数学A
〔2〕 以下の問題において比を解答する場合は,最も簡単な整数の比で答えよ。
(1)四角形ABCD の面積Sについて考えよう。 以下では,四角形ABCD の内
角∠A,∠B,∠C, ∠D の大きさを,それぞれA, B, C, D で表す。ただ
し、四つの内角はいずれも180° より小さいものとする。
対角線 BD を共通の1辺とする △ABD と △BCD の面積を、それぞれ
S1, S2 とすると
ク
ケ
S1 =
sin A, S2=
sin C
2
2
となる。
四角形ABCDの四つの内角が A + C = B+ D を満たすとき,
A+C= コ となる。このとき, sin C を sin A を用いて表せることに
注意すると
となる。
サ
S = S1 + S2 =
sin A
2
6
(数学Ⅰ 数学A第1問は次ページに続く。)
(2103-6)
:

ページ4:

ク
数学Ⅰ,数学A
ケ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
◎ ABBD
①ABAD
AD.BD
(3) BC.BD
④ BCCD
⑤ BD・CD
AB.CD
AD • BC
⑧ AC・BD
コ の解答群
90°
120°
135°
150°
180°
240°
⑥ 270°
⑦ 360°
サ
の解答群
AB BD + BC BD
AB・BD - BCBD
AB AD + BC・CD
AB・AD - BC・CD
AD BD + BD・CD
AD・BD BD・CD
AB CD + ADBC
AB・CD - AD・BC
AC⚫ BD
(数学Ⅰ 数学A第1問は次ページに続く。)
7-
(2103-7)

ページ5:

数学Ⅰ 数学A
(2)点を中心とする半径60円 0が, 線分 PQ 上の P, Q と異なる点Mに
おいて線分 PQに接している。 P, Q それぞれを通る円0の接線で,直線
PQ と異なるものを引き、この円との接点をそれぞれK, Lとする。以下で
は直線 PK,QL が交わる場合を考え,その交点をRとする。 このとき
△PQR の辺の長さについて考えよう。
(i) PK = 12, QL=9であるときを考え,∠KPM = P, ∠LQM = Q とす
る。このとき,2直線 PK, QLの交点 R は直線 PQ に関して点 0 と同じ
側にある。
P
R
K
L
M
参考図
四角形 PMOK が △PMO と △PKO に分けられることに注意すると,
四角形 PMOK の面積はシスであることがわかる。このことから,
セ
① を用いると, sin P =
となることがわかる。
ソ
8
(数学Ⅰ 数学A第1問は次ページに続く。)
(2103-8)

ページ6:

数学Ⅰ 数学A
タチ
四角形 QLOM についても同様に考えると, sin Q =
となるこ
シテ
ともわかる。 よって, PR: QR = トナ : ニヌ となり,これにより
ネノ
RL =
と求められるので,△PQR の辺の長さを求めることがで
ハ
きる。
(ii) PK = 4√2, QL=3√2 であるときを考える。 このとき,2直線
PK, QLの交点R は, 直線 PQ に関して点0と反対側にある。このこと
に注意すると RL = ヒフ
の長さを求めることができる。
9
と求められるので,△PQR の辺
-
(2103-9)

ページ7:

数学Ⅰ 数学A
第2問 (配点 30)
〔1〕 2次関数の最大値、最小値について考えよう。
(1) 2次関数y= 2x2 - 8x +5は 0≦x≦ 3において,x = ア
で最大
値 イ をとり, x= ウ で最小値 エオをとる。
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
-10-
(2103-10)

ページ8:

数学Ⅰ 数学A
(2)太郎さんと花子さんは, (1) を振り返って 2次関数の最大値、最小値につ
いて話している。
太郎 : (1) では, 2次関数とxのとり得る値の範囲が与えられて,最大
値と最小値を求めることができたね。
花子 : じゃあ、xの値の範囲とそのときの最大値と最小値に関する条件
が与えられている場合に, 条件を満たす2次関数を求めることは
できるのかな。 具体的な例で考えてみよう。
(i) 2次関数y=f(x)は次の条件を満たすとする。
条件1
y=f(x)は-3≦x≦0において
x=-1で最大値3をとる。
•x=-3で最小値5をとる。
このとき,y=f(x) のグラフの頂点の座標は カ
であり
f(x) = キク
ケ x+ コ
である。
カ の解答群
(0,3)
① (1,3)
② (3,3)
(-1,3)
(6
(1,-5).
⑨ (-3, -5)
(-3,3)
⑦ (3-5)
(0, -5)
(-1,-5)
-11-
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
(2103-11)

ページ9:

数学Ⅰ 数学A
(ii) 2次関数y=g(x)は次の条件2を満たすとする。
条件2
aを正の定数とし, y = g(x)の0≦x≦αにおける最大値を M,
最小値を m とすると
• 0<a<3ならば, m> -2である。
・a≧3ならば,m=-2である。
•0 <a ≦ 6ならば, M = 7 である。
• α > 6ならば, M > 7 である。
このとき,2次関数y=g(x)のグラフは
サ
の放物線であり
g(x):
である。
サ の解答群
下に凸
の解答群
2x2
12x + 16
2x2 - 12x - 16
④
x2 - 7
⑥ x2 - 6x +7
2x2-9x+7
-12-
① 上に凸
-
-
- 2x2 + 12x - 16
- 2x2 + 12x - 20
⑤
- x²+7
⑦ - x2 + 6x - 7
⑨ - 2x2 + 3x +7
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
(2103-12)

ページ10:

(3) 2次関数y=h(x)は次の条件3を満たすとする。
数学Ⅰ 数学A
条件3
bを定数とし,y=h(x)のb-1≦x≦ b + 1 における最大値をM
とすると
・1≦b≦7ならば, M≧0 である。
• 6 <1または7 <bならば, M < 0 である。
太郎さんと花子さんはん(x)について話している。
太郎: (2) の条件1や条件2からは関数が一つに決まったけど, 条件3
だけでは, h(x)が一つに決まりそうにないね。
花子:でも,y=h(x)のグラフとx軸の共有点の座標はわかりそうだ
ね。
2次関数y=h(x)のグラフとx軸の共有点のx座標は ス および
セ である。 ただし, ス
セ の解答の順序は問わない。
(数学Ⅰ. 数学A第2問は次ページに続く。)
-13-
(2103-13)

ページ11:

数学Ⅰ 数学A
〔2〕 以下の問題を解答するにあたっては,与えられたデータに対して,次の値を
外れ値とする。
「(第1四分位数) 1.5 × (四分位範囲)」以下の値
「(第3四分位数) + 1.5 × (四分位範囲)」以上の値
水泳部に所属する太郎さんは, 1500m自由形におけるペース配分を考える
ために,2021 年に開催された東京オリンピックの男子1500m自由形に関する
データを分析することにした。 なお,自由形とは,どのような泳ぎ方で泳いで
もよい競技のことである。
分析で用いるデータは, 28人の選手における, 予選で計測された記録(以
下, タイム) とする。 ここでは, タイムは秒単位で表すものとする。例えば,
15分23秒46 であれば, 60 × 15 + 23.46 = 923.46 (秒) である。 そして, 公
式順位(以下,順位)は,タイムの値が小さい方が上位となる。 また, 28人の
選手それぞれのタイムについて,スタートから750mまでのタイムをT前と
し, 750mからゴールまでのタイムをT後とする。 さらに, T前とT後の平均
値を T 前後とする。
なお、以下の図や表については, World Aquatics の Web ページをもとに作
成している。
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
-14-
(2103-14)

ページ12:

数学Ⅰ,数学A
(1)太郎さんは,T前,T後, T前後の関係を調べることにした。 図1はT前と
T後の散布図、図2はT前とT前後の散布図である。 なお,これらの散布図に
は,完全に重なっている点はない。 また, 図1と図2において, A を付して
いる点は,同じ選手であることを表している。
(秒)
500
490
480
(秒)
500
°
490
。
40
480
T後 470
460
450
T前後 470
。
80
。
38
。
°
460
°
9°
450
440
440
440 450 460 470 480 490 (秒)
440 450 460 470 480 490 (秒)
T前
T前
図 1 T前とT後の散布図
図2 T前とT前後の散布図
次の (a),(b) は,図1と図2に関する記述である。
(a)T前が 470 秒未満である選手について, T 後 が 460秒以上である選手の
人数と, T前後が460秒以上である選手の人数は等しい。
(b)A を付している点が表す選手について, T前の値は T 前後の値より小さ
く,かつT後の値はT前後の値より大きい。
(a),(b) の正誤の組合せとして正しいものは ソ
である。
の解答群
◎
①
正
正
(b)
正
誤
正
15-
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
(2103-15)

ページ13:

数学Ⅰ 数学A
(2)太郎さんは,T前とT 前後の相関係数を計算するために, 表1のように,
平均値,標準偏差および共分散を求めた。
表1 T前 と T前後 の平均値,標準偏差,共分散
平均値 標準偏差 共分散
T前
450
8.3
72.9
T前後
453
9.3
表1を用いると,T前とT前後の相関係数は
タ である。
タ |については,最も適当なものを,次の〜⑨のうちから一つ選べ。
◎ 0.01 ① 0.24
0.47
0.83
(6) 0.94
1.06
0.59
0.72
1.38 ⑨ 4.14
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
-16-
(2103-16)

ページ14:

数学Ⅰ,数学A
(3)太郎さんは, 順位とペース配分の関係を調べるために, 前半と後半という
二分割だけではなく,より細かく分割されたタイムを用いて分析することに
した。 1500m自由形のタイムは, スタートから50mまでのタイム, 50m
から100mまでのタイムのように, ゴールまで50mごとの30個に分けて
計測されている。 そこで,これら30個のタイムを用いて分析する。
(i) 1位の選手の30個のタイムについて考えると, 外れ値かどうかを判断
する二つの値である29.315と 29.835 が算出され, 29.315 以下の2個の
タイムと29.835以上の1個のタイムが外れ値と判断された。 このとき,
1位の選手の30個のタイムの四分位範囲は0. チツ 秒である。
外れ値
外れ値
。
°
HH
29.315
29.835
参考図
-17-
外れ値
°
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
(2103-17)

ページ15:

数学Ⅰ 数学A
(ii) 太郎さんは28人の選手それぞれについて, 30個のタイムを用いて,選
手ごとの箱ひげ図を作成し,分散を計算した。 図3は上から分散が小さい
順になるように, 28人の選手それぞれの箱ひげ図を並べたものであり、
30個のタイムにおける外れ値は,白丸で示されている。 なお,分散が等
しい選手はいなかった。
1位
°
.....
6位
。。
14位
°
°
12位
。
4位
。
3位
°
2位
°
20位
°
。
。
°
1
OH
O
エ
HIH
°
1
9位
18
19位
15位
°
24位
or
∞
8位
∞
H
5位
oo
7位
°
10位
08
13位
°
° HIG
8T
18位
B
28位
23位
22位
°
。
。
11位
°
。
25位
°
°
°
H
H
16位
°
°
27位
°
。
H
17位
°
26位
21位
26
27
28
29
30
31
32
33
34 (秒)
図3
28人の選手の順位と30個のタイムの箱ひげ図 (上から分散の小さい順)
(数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
- 18 -
(2103-18)

ページ16:

数学Ⅰ,数学A
次の (a),(b) は, 図3に関する記述である。
(a) 28 人の選手において, 29秒より速いタイムはすべて外れ値である。
(b)28人の選手から2人を選んだとき, 分散の大きい選手の四分位範囲
は,分散の小さい選手の四分位範囲より小さいことがある。
(a),(b) の正誤の組合せとして正しいものは テ
である。
テ の解答群
(b)
③誤誤
②
誤正
①正誤
正正
(Ⅲ) 順位が1位から8位までの選手のグループを決勝進出グループ, 9位か
28位までの選手のグループを予選敗退グループと呼ぶことにする。 決
勝進出グループであり, かつ30個のタイムの分散が小さい方から14番目
までの選手の人数を n (人) とすると, 表2のようになる。
表2 順位と分散の表(単位は人)
分散 (小さい順)
計
順位
決勝進出グループ
予選敗退グループ
計
n
1番~14番 15番~28番
8-n
8
14-n
6+n
14
14
202
28
このとき, 図3からn= ト であることがわかる。このことから,
決勝進出グループにおいて分散が小さい方から14番目までの選手が占め
る割合を P,予選敗退グループにおいて分散が小さい方から14番目まで
の選手が占める割合を Q とすると,P ナ Qであることがわかる。
ナ の解答群
-19-
(2103-19)

ページ17:

数学Ⅰ,数学A
第3問(配点 20)
空間内に, AB = AC =10,BC=12である二等辺三角形ABC がある。 △ABC
の内心をIとし, △IBCの重心をGとする。 Gを通り, △ABCを含む平面と垂直
すい
な直線上に,Gと異なる点Pがある。 このとき, △ABC を底面とする三角錐
PABCについて考えよう。
A
参考図
B
P
・C
直線AI と辺BCの交点をDとし,また,辺 PA上の点Eは,∠PED = ∠PID
を満たしているとする。 なお、 以下の問題において比を解答する場合は,最も簡単
な整数の比で答えよ。
(数学Ⅰ 数学A第3問は次ページに続く。)
- 20
20
(2103-20)

ページ18:

数学Ⅰ,数学A
(1)直線 BI が ア ことに注意すると, △ABD において線分AI と ID の長さ
の比を求めることができる。 よって, 線分AD の長さに着目すると
AI = イ
ID = ウ
であることがわかる。 また, 4点E, I, D,
I
|は同一円周上にある。
よって
AEAP= オカ
であることがわかる。
ア の解答群
⑩ 直線AC と垂直に交わる
①直線AC とねじれの位置にある
② ∠ABCを2等分する
③辺ACの中点を通る
I の解答群
◎ A
①B
②C
G
P
(数学Ⅰ 数学A 第3問は次ページに続く。)
-21-
(2103-21)

ページ19:

数学Ⅰ 数学A
(2)線分 PI と DE の交点をF とする。このとき,線分 IF と FP の長さの比と,三
角錐 PABCの体積との関係について考えよう。
(i) 次の仮定1のもとで三角錐 PABCの体積 V」 について考える。
仮定1
線分 IF と FP の長さの比がIF : FP=3:2である。
このとき
PE: EA = キ : ク
であるから, (1) での考察に注意すると,AP = ケ
コ となる。
したがって, 直線 PGが△ABC を含む平面に垂直であることに注意する
と,V1 = サシであることがわかる。
(数学Ⅰ 数学A第3問は次ページに続く。)
22-
(2103−22)

ページ20:

数学Ⅰ 数学A
(ii)(i) の仮定1の代わりに次の仮定2をおき, 三角錐 PABCの体積の変化につ
いて考える。
仮定2
線分 IF と FP の長さの比がIF:FP = 1:3である。
仮定2のもとでの三角錐 PABCの体積 V2 を, (i) で求めた V, と比較する
と, V2 と V1 の比は
V2:V1 = ス
セ
であるから, ソ
ソ の解答群
◎ V2 は V1より小さい
①V2 と V1 は等しい
② V2 は V1 より大きい
- 23
(2103-23)

ページ21:

数学Ⅰ,数学A
第4問 (配点 20)
1人対1人で対戦する競技の大会があり, A, B, Cの3人, または A, B, C,
Dの4人で開催される。 大会はリーグ戦形式で行われる。すなわち,それぞれの
人が他のすべての人と1回ずつ対戦する。 引き分けはないものとし, Aが対戦相手
に勝つ確率は
あるものとする。 なお, 各対戦の結果は互いに影響を与えないものとする。
すべての対戦が終わった後, 次の優勝者の決め方により優勝者を決める。
であり,A以外の2人が対戦するとき勝つ確率はどちらも 12/2
で
優勝者の決め方
勝ち数が一番多い人が1人であれば,その人を優勝者とする。 そうでなけれ
ば,抽選により, 勝ち数が一番多い人の中から1人を選び, その人を優勝者と
する。 ただし, 勝ち数が一番多い人の人数が人であるとき, それぞれの人
1
が選ばれる確率は
であるものとする。
n
Aが優勝する確率を, A, B, Cの3人でリーグ戦を行うときと, A, B, C, D
の4人でリーグ戦を行うときとで比較しよう。
(数学Ⅰ 数学A 第4問は次ページに続く。)
-24-
(2103-24)

ページ22:

数学Ⅰ 数学A
以下では,すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ。 なお, 対戦結果は抽選の結果
を含まない。対戦結果を示すために表を用いる。 例えば, 表1は4人でリーグ戦を
行ったときの対戦結果の一つを示す。 Aから始まる行の×○○は,AがBに負け
CとDに勝ち、2勝1敗となったことを示す。 また, 勝ち数が一番多いAとBの
2人が抽選の対象であり,そのことをくで示す。
表 1
A
B
A
×
co
C
D 勝ち数
負け数 抽選
○
2
1
✓
B
{
○
○
×
2
1
✓
C
×
×
C
1
2
D
×
C
×
1
25
2
(数学Ⅰ 数学A第4問は次ページに続く。)
(2103-25)

ページ23:

数学Ⅰ 数学A
(1) A,B,Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
(i)Aが2勝0敗ならば, Aが優勝する。 Aが2勝0敗で優勝する確率は
ア
である。
イ
(ii)Aが1勝1敗で優勝するためには, BもCも1勝1敗であることが必要で
ある。例えば,Aが勝つ相手がBであるとき, AがCに負けBがCに勝つこ
とが必要である。 表2は, この対戦結果を示し, この対戦結果になる確率は
ウ
である。 この対戦結果になり, かつAが抽選により優勝者に選ばれ
I
ウ
オ
る確率は
×
である。
I
カ
表2
A
B
C 勝ち数
負け数 抽選
A
C
B
×
×
○
1
1
✓
1
1
✓
C
×
1
1
✓
Aが勝つ相手はB, Cの2通りあることに注意すると, Aが1勝1敗で優勝
キ
する確率は
であることがわかる。
クケ
ア
キ
(i) と (ii) から, A が優勝する確率は
+
である。
イ
クケ
- 26-
(数学Ⅰ 数学A第4問は次ページに続く。)
(2103-26)

ページ24:

数学Ⅰ 数学A
(2)A, B, C, Dの4人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
Aが3勝0敗 ならば, A が優勝する。 また, Aが1勝2敗ならば, 2勝以上す
る人がいるためAは優勝しない。
Aが2勝1敗で優勝する確率を, 全敗する人がいる場合の確率と全敗する人が
いない場合の確率の和として求める。
(i) 全敗する人がいる場合で,かつAが2勝1敗で優勝する確率を求める。
全敗する人はB, C, D の3通りある。 例えば, Dが全敗するとき,対戦結
果の一部を示すと表3のようになる。
AB
表 3
A
B C D 勝ち数
負け数 抽選
C
D
×
×
×
〇〇
C
0
3
コ
Dが全敗する確率は
である。 Dが全敗する場合, Aが2勝1敗で
サ
優勝するためには, AがD以外の2人との対戦で1勝1敗となることが必要
である。
以上のことから, (1) の (ii) の結果を用い, 全敗する人が B, C, D の3通り
あることに注意すると, 全敗する人がいる場合で、かつAが2勝1敗で優勝
シ
する確率は
であることがわかる。
スセ
(数学Ⅰ 数学A第4問は次ページに続く。)
- 27
(2103-27)

ページ25:

数学Ⅰ 数学A
(ii) 全敗する人がいない場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を求める。
Aが2勝1敗のとき, Aが負ける相手は B, C, Dの3通りある。 例えば,
Aが負ける相手がBであるとき, 対戦結果の一部を示すと表4のようにな
る。
A
A
B
B
○
C
×
D
×
×
0
O
表 4
D
勝ち数
負け数 抽選
○
2
1
このとき, A が優勝するためには, Bは2勝1敗か1勝2敗であることが必
要である。例えば,表1は,AとBが2勝1敗である対戦結果の一つを示
し, AとBの2人が抽選の対象となったことを示す。
A
B
A
×
B
C
D
x|x|0
○
×
0
表1 (再掲)
〇一〇
×
D 勝ち数 負け数 抽選
0x
○
2
1
2
1
✓
1
2
1
2
(数学Ⅰ 数学A 第4問は次ページに続く。)
-28-
(2103-28)

ページ26:

数学Ⅰ 数学A
全敗する人がいない場合で、かつAがBに負けCとDに勝ち優勝するとき
の対戦結果は ソ 通りある。 Aが負ける相手がB, C, D の3通りあるこ
とに注意すると, 全敗する人がいない場合で,かつAが2勝1敗で優勝する
タ
確率は
であることがわかる。
チ
シ
タ
(i) と (ii) から, Aが2勝1敗で優勝する確率は
+
である。
スセ
チ
以上のことから,Aが3勝0敗で優勝する確率を考慮すると, A が優勝する確
ツ
率は
であることがわかる。 この確率は (1) で求めた3人でリーグ戦を行
テ
ト
うときにAが優勝する確率より
だけ ヌ
ナニ
ヌ |の解答群
⑩ 小さい
① 大きい
- 29
(2103-29)

ページ27:

第1問
[1] V {2,3
=
4
20}
2 ≤ a ≤ 9
2 5
bs9
A
k
と
a
公約数
B
REU
k
公約数
(1)
a = 3 の のとき
3の約数[
3}
>
1以外の約数は131
A = {3,6,9,12,15,18}
b
=
4のとき
4の約数
(1.2.4}
以外の約数は{2.4}
B
=
2. 4. 6. 8.
10,12,14
16,18,203
イ
A
B
=
(6.12.18)
ウ
B =
{ 1.3.5.7. 9. 11 13.
i An B {3.9.15}
=
15,17,19
2の倍数も3の倍数もない
(2)
(i)
A
A
2の倍数 かつ
3の倍数
I ②
6 の倍数
2≦a≦よう
a
6
オ

ページ28:

(ii)
990
An B = {5}
A
5 2 19 12 12 to
2≦a≦9 より
a = 5
A
a=5のとき
A {5,10, 15, 201
An B
=
=
{5} より
5 € B
5 & B
5 & B,
'
/
2 € B,
10
5
15
20
10 & B
15 & B
20 B
10 E B .
15 € B .
20 B
2.5€ B.
3.5 EB,
25EB
3 E B
2 ≤ b ≤
9 より
b
=
2.3
=
6
B

ページ29:

〔2〕 (1)
AB AD
S₁
=
sin A
2 ①
A
2
BC-DC
52 =
Sin C
ケ④
2
A + C
=
B + C
のとき
四角形の内角の和は
360°より
B
30
A +
В + C + D =360°
(A +
C ) + ( B + D) = 360°
( A + C ) +
( A + C) 360°
=
21A +
c) = 360°
A +
=
C 180°
コ
(4)
=
=
sir C
C
=
180-A
= Lin (180 - A)
=
Sin A
S
D
S
C
S₁
+ S₂
AB. AD
BC CD
Sin A+
sin A
2
2
AB. AD
BC CD
Sin A +
sin A
2
2
AB ADB C. CD
2
Sin A
y
D
A
A
→x
サ②

ページ30:

(2)
円。 半径6
(i) PK =12
QL= 9
PQ,PRは 円の
接線より
PM=PK= 12
COMP
= LOKP= =90°
P
円の半径より
0M=0K = 6
四角形 PMOK
の面積は
△PHO + DPko
=
PM · OM +
PKOK
2
2
=
12. 6+
1/126
=
=
2
36
72
2
+36
シス
LPMO=Lpko=90° より
∠MPK+LMOK=180°
12
k
6
12 M
Q
PM.PK +
OMOK
①より
S=
sin P
2
12.12+
6.6
k
12
72
=
Linp
2
P
144 +36
12
M
72
=
sinp
2
180
72
Lin P
2
72
=
90
Lin P

ページ31:

90 sin p
72
72
Linp
=
=
90
8
10
四角形 QLOMの面積は
=
△ QM0+ △QLO
=
2
-
96+ 1/29.6
27 +27
=
54
①より
=
4
=
セン
5
QMQL + OMOL
2
9·9 + 6.6
LinQ
P
LinQ
P
54
=
2
81+36
54
LinQ
2
117
=
SinQ
2
54
117
2
LinQ
=
54
2
54
117
LinQ
=
正弦定理より
QR
sinp
QR
=
12
13
ターテ
2R
(R外接円の半径)
2R Ein P
12
k
12
k
9

ページ32:

PR
Lin Q
PR
=
2R
2 R. sin Q
PR: QR
= 2R Lin Q
:
2R sin P
= Lin Q:
sin P
=
12
13
112) 5): : (X XB)
4
5
=
60: 52
=
15
13
(RK + k P) :
(RL + LQ) = 15:13
(RL + 12):
(RL + 9)
=
15
13
(ii)
トース
15RL + 135
15RL
13 RL
=
(RL + 9) × 15
= (RL + 12) × 13
= 13 RL + 156
156-135
2RL
=
21
21
RL =
2711
2
P
M
Q
R
L
k
M

ページ33:

2
四角形 PMOK
4126+4126
2
24/2
=
sin LKPM =
=
34
41242+6.6
2
34 sin LKPM
242
12
√2
17
QLOM
32.6+3/26
2
2
=
Sin LKPM
412
P
5
Sin LLQM
R
32.32 + 6.6
2
Sin LLQM
1812
27
=
2
3
√2
182
=
27
sin LLQM=
Lin LPQR
sin
(180° - (LOM)
=
sin LLQM
sin L QPR =
sin (180' - LKPM) =
=
sin LKPM
PR: QR =
Sin LPQR
Sin LQPR
=
Lin LLOM :
sin LKP M
2
R
=
2 :
√2
3
17
=
34
:36
=
17
: 18
0
6
7212
(RK-42): (RL-32)
IRL
18RL
42) × 18 = (RL-3/2)×17
=
17:18
=
17R2
-
5112
RL
=
21√2
< >
'32
Q

ページ34:

第2問
[1] (1) y
2x²-8x +5
=21x2
-
4x) + 5
10≦x≦3)
=2{(x-2)^2}+5
=
2(X
= 2(X
-
-
2)
2)2
頂点(2,
.3
8 + 5
-3)
x=0のとき
y
=
5
x=3のとき
y
= 2-3
8-3+5
=
18
24+5
-1
x= 0
で最大値
5
アイ
x=2
で最小値 -3
ウエーオ
-
(2) - 3 ≤ x ≤ 0
x=-1 で 最大値 3
x=-3
で
最小値
-5
y=f(x)
の頂点(-1, 3)
カ③
2
f(x) = a(x+1) +3
とおく
x=
-
-5
-
5
3で
=
=
5 =
3 +
y=
-
5より
-
+
・3
2
+
3
al
a (-2)
4a+3
4a+3
=
4a
4a
-
Lo
= 5
(1
=
8
3
5
・3
2
3
x
0
-5

ページ35:

(ii)
=
-
2
f(x)=-2(x+1)^+ 3
: f(x)
=
=
=
2
2 (x + 2x + 1) + 3
2x'
2x
2
-
-
4x 2+3
4x+1
a > o
0 ≤ X ≤
a
g(火)を 上に凸
a≧3ならば
最小値
mpi
と仮定する
M = 2 より
-2で一定である
g(x)が上に凸の とき
0≦x≦aにおける最小値は
一定ではない
これは矛盾
キ~コ
0
a
a
g(x)は下に凸
a
3ならば m= 2
最小値が
2で一定
頂点 (3-2)
9 (x) = b(x
-
3)²
2
-2
2
とおく
049≤6
ならば
M
=
· 7
x=0.6で最大値7
x=0,
=
7より
7 = b(0-3)2-2
3
6

ページ36:

96
7
96
9b
=
9b
2
2 =
=
7
7+2
9
g(x)
=
|
=
=
=
1·1x- 3)
x
x
2
2
-
-
2
-
2
6x+9-2
6x+7
(3) y=h(x)
93x31-9
+
1
1 ≤ b ≤ 7
ならば M ? O
0≤þ-1≤6
2 ≤ b + 1 ≤ 7
45 x 30
b < |
ならば
M<0
071-9
b+1 < 2
x<2で
でM30
M<O
7b ならば
1-979
8 < b +1
M<O
6Xで M<0
サ
⑥
M≧0
0
12
6
7
X
0>W
MKO
y=h(x)とx軸との
共有点のx座標
2,
6
スセ
f

ページ37:

[2]
28人
(1) (a) T前 <470 について
T460
は
7人
T前後 460
は
3人
(b) A
誤
450T前(460
460 <T前後<470
TT前後
470 T後 <480
度
460 <T前後<470
TT前後
正
(a) 誤
(b) E
②
72.9
相関係数 r=
72.9
=
8.3×9.3
77.19
=
0.944
≒0.94

ページ38:

(3) (i) Q, 1.5183
3
-
-
Q1)=29.315
+1.5(03-01)=29.835
①より
(Q3
-
Q,)+310
-
Q) 0.52
=
3
41
103
-
=
Q₁) 0.52
日
Q3
=
0.13
チツ
(ii)
(a) 26位 と 21位が
(iii)
29秒より速いタイムが
外れ値でない
誤
(b)
12位 4位 が
満たす
正
n=7
(a) 誤
(b) 正
テ
2
=
7
140
160
Q=
7
20
56
160
P > Q
ナ

ページ39:

第3問
(1)
I が △ABCの内心より
BIが∠ABCを2等分する
AI:ID
=
BA BD
BA: BC = 10:
=
0
:
6
=
5
:3
△ABDは直角三角形
2
12
①
三平方
の定理より
2
AD' + BD' = AB'
AD' + 62
AP
AD > 0 & 9
2
AD =
=
10°
=
=
=
10°-6'
100-36
64
164
=
8
②
P
E
A
10
10
10
C
12
°
A
D
12
°
I
6
①②
より
AI
=
=
5+3
AD
=
5 × 8 =
5
X
イ
8
=
8
-
=
5 3
ウ
I D AB-AI
LPIDで円周角の定理の逆より
LPED =
4点
E I, D
P18
同 円周上にある
I
方べきの定理より
10
E
B
D
AE AP
=
AIAD
8
= 5.8
=
40
オカ

ページ40:

(2)(i)
仮定1 IF FP= 3:2
△PAIと ED T
メネラウスの定理より
E
P
C
AD
IF PE
=
10
G
12
DI
FP
EA
8
3
PE
3
EA
PE
4
=
+
E
P
:
EA
PE
EA
PE E A
=
=
4
1 : 4
キック
A
5
D
AE
-
AP
(1)より
1+4
AE AP = 40
=
4
5
AP
4
AP
AP
=
40
AP²
2
5
=
40-
= 50
4
=
5/2
ケコ
AP > 0 ) AP = √150
(1)
より
Gは
I D =3
△IBCの重心より
IG: G D =
2:1
2
IG =
ID
2+1
2
3
-
= 2
A
10
H
m
12
G
6
10
B

ページ41:

△PAGは直角三角形
三平方の定理より
L
A G + PG= AP
51
2
2
(5+2) +
PG
=
(5/2)
2
2
49
=
50
+ PG
1G>057
V
=
=
PG
PG
2
2
=
=
PG
こ
50-49
[[ = 1
△ABC・PG
=1/11/2
(ii) 仮定 2
3
16
G
A
5
A
12
I
128) 1 |
.
10
サシ
B
P
IF:FP= 1:3
同様にして
メネラウスの定理より
81
PE
3
3
EA
8
PE
9
EA
E A
PE
;
PE E A
AE
(1)より
AE
17
=
8
9
9:8
=
AP
=
9+8
AP
AP.AP
=
=
40
40
17
AP
LLI
D

ページ42:

AP²
2
Ap²
=
=
△PAGは直角三角形
三平方の定理より
2
AG +
7² +
167089
2
PG =
PG
PG
2
2
1G²
1G
2
AP
= 85
=
=
40
85
・85-49
36
=
136
=
6
17
V₁
V₁
=
=
ABC I
SABC · 6
V
: V₁
V₂
= 6:
> V₁
185
A 5
スセ
ľ
G
1 2

ページ43:

第4問
2
A 1
3
B,C,D
2
(1)
(1)
A . B . C
A が2勝0敗
A
B
C
A
2勝
B
×
1膽以下
C
1勝以下
B, C IJ 1勝以下
抽選になることはない
2
2
4
=
アイ
3 3
9
AB t
(ii)
AC
で
BC
t
Aが負け
Aが勝ち
Bが勝つ
川
2
-
3
I
×
2
2
×
=
ウエ
9
このときAが抽選により優勝するのは
x
9
オカ

ページ44:

(2)
Aが勝つ相手は
: A Pr
9
B.c 2通り
の
1勝1敗で優勝するのは
2
**** 11
×
3
=
× 2
27
(i)(ii)は 排反より
Aが優勝するのは
4
9
2
+
27
A.B.C.D
Aが2勝1敗のとき
(i)
全敗する人がいる場合
全敗する人
B,C,D
の3通り
Dが全敗するとき
AD
で
A 勝ち
BD
で
CD
で
B勝ち
C勝ち
2
×
x
=
コサ
3
2
Aが2勝1敗となるのは、
AはDに1勝しているので
AがD以外と
1勝1敗
(1)の (ii) より
2
27
キクケ

ページ45:

:
Dが全敗のとき
Aが2勝1敗で優勝するのは
2
+ 1/1/15
27
全敗する人は、 B,C,D
の3通り
全敗する人が
いる場合で
Aが2勝1敗で優勝するのは
2
×
x3
=
シス、セ
27
27
(ii) 全敗する人が
A
B
C
D
A
B
C
D
いない場合
Aが2勝1敗のとき
Aが負ける相手は
Aが負ける相手が
A
C
☑
A
○
×
✗
B
C
×
☑O
☑
Ox
Bx
ox
○
C
P
00
0
coxの
☑
X
勝
勝
2
-
B,C,D の 3通り
Bの
とき
負
I
✓
NπK
2
2
NIK
抽選
P
勝
2
2
2
負
2
抽選
✓
I

ページ46:

Bは2勝1敗 P\ 1勝2敗
B. C. Da 3人
で考えると
Bは 1勝1敗
2敗
または
B 12
Bは
CADに勝つ
2通り
CDに負け
CDの勝敗 は
2通り
:
全敗がいない
とき
かつ
AがBに負け、CDに勝ち優勝する
対戦結果は
2+2=
4
(通り)
ソ
それぞれの対戦結果となる確率は
2
い
2
2
x
×
X
3
3
2
2
2
=
x
x
3
3
3
Aが抽選で優勝するのは
=
I
54
1
X
(3
54
108
全敗する人が
いない
場合
A19
2勝1敗 優勝するのは
① ② ③ より
4×3×
(1) ε (11) 5
==
タチ
108
9
Aが2勝1敗で優勝するのは
3
4
+
=
+
27
9
27
27
27

ページ47:

Aが3勝で優勝するのは
3/3
×
2
3
Aが優勝するのは
4
27
+
d
27
=
x
2
=
8
27
12
4
ツ・テ
9
27
この確率
44
9
(1)より
3人
で優勝
4
2
+
より
9
27
2
だけ
小さい
トナ
2 O
27