✨ 最佳解答 ✨
∮ は線積分の記号であり意味が異なります。
正しくは ∫ ですね
それぞれ、
∫[0,x] t·logt dt=A
∫[0,x] (x-t)·cost dt=B
とし、
(d/dx)A
(d/dx)B
を求めればよいです。
積分式を解くには部分積分を使う必要があります。
以下に部分積分の公式を書いておきます。
∫f(x)·g(x)=f(x)·G(x)-∫f'(x)·G(x) dx
ただし、G(x)=∫g(x)dx
この質問には何を質問しているのか明記されていないので私が回答できるのはこれくらいです。
問題文載せたから何って話。
おはようございます。
はい、
じゃあなるべく記号を使わずに説明します。
①はじめに
微分と積分の関係
→微分→
関数1 関数2
←積分←
のとき、関数1を主語にして考えると
関数1を微分すると関数2になり、
関数2を積分すると関数1になる。
あなたが提示してくれた、
青い部分で囲まれた公式と似たような公式がありまして、
∫f'(x)dx=f(x)
というものがあります。
これは先に私が説明した微分と積分の関係になっています。
左式は"関数f(x)を微分したのを積分する"
という意味になり、
「関数1を微分すると関数2になり、
それを積分すると関数1になる」になってますよね。
それと同じで
関数f(x)を微分したもの'を積分∫dxすると
元の関数f(x)に戻ります。
②本題
青い部分で囲まれた公式
(d/dx)∫[a,x]f(t)dt=f(x)
について説明します。
微分記号があったりインテグラルがあったり、tやdtなどよくわからない記号があって混乱しているかと思いますが、これもすごく単純です。
この公式と少し違いますが、先に私が説明した微分と積分の関係を思い出してください。
先は関数1を主語にして言いましたが、
関数2を主語にして言うとこうなります。
関数2を積分すると関数1になり、
関数1を微分すると関数1になる。
これを数式で表すと、
(d/dx)∫f(x)dx=f(x)
関数f(x)を積分∫dxしたものを微分(d/dx)すると、
元の関数f(x)になる。
成り立ってますよね。
青い部分で囲まれた公式は定積分になっていてさらに変数がtになっています。
このところについて最初に説明します。
∫[a,x]f(t)dt
これは単なる定積分なので、
∫f(t)dt=F(t)としますと、
ₓ
∫[a,x]f(t)dt=[F(t)]ₐ
=F(x)-F(a)
となる。いいですね？
次に(d/dx)のところについて説明しますが、
もうわかりましたかね？
(d/dx)の記号はxについて微分するという意味なので、
ほかのx以外の変数は定数扱いなので、
消えてなくなります。
すなわち、
(d/dx){F(x)-F(a)}=f(x)
( ∫f(t)dt=F(t) ⇔ F'(x)=f(x) )
↑変数が変わっているだけで関係は左右反対なだけです
よって、
(d/dx)∫[a,x]f(t)dt=f(x)
が成り立つ //
③終わりに
以上で公式の説明は終わりになりますが、
すっきりしましたかね？
たくさん文字打ちして疲れちゃったんで、
また少し経ったら教えたいと思います。
この回答を読まれましたら返信お願いします。
もし自分でてきそうだったらやってみて、私に見せてもらっても構いませんよ。
では。
(2回ほど削除したのは文が見づらかったので改行とかしてました笑)
なるほど公式理解しました
わざわざ丁寧にありがとうございます🙇♀️🙇♀️
出来ればまた解説の続きお願いしますm(._.)m
練習23の(2) だけ
解
①積分式を計算する
部分積分を用いる。
∫ {f(t)·g(t)}dt=f(t)G(t)-∫ {f'(t)G(t)}dt
ただし、∫g(t)dt=G(t)
f(t)=logt, g(t)=tとすると
※定積分を計算する際、1を代入してもそのあと行う
xについての微分をする作業で定数は消えてなくなるので予め代入しないで無視して計算を進める。
ₓ ₓ ₓ
∫ t·logt=[logt·(t²/2)]-∫ {(1/t)·(t²/2)}dt
¹ ¹ ¹ ₓ
={(x²·logx)/2)}-(1/2)·∫ tdt
¹ ₓ
={(x²·logx)/2}-(1/2)·[t²/2]
¹
={(x²·logx)/2}-(x²/4) //
②積分式をxについて微分する
(d/dx)〔{(x²·logx)/2}-(x²/4)〕
積の微分公式を用いる
{f(x)·g(x)}'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)
=(1/2)·{(x²)'·logx+x²·logx}-(x²/4)'
=(1/2)·(2x·logx+x)-(x/2)
=(2x·logx)/2 //
以上
見やすいかな？積分範囲のところ∫の側にあるかな？
左右にずれたりしていたら、そこは自分でズラして
読み取ってください笑
疲れたんで応用問題はまた今度。
解き方はおんなじですよ。
言い方が悪くてすみません。
青い部分で囲まれた公式の意味と練習29⑵の解法、応用例題の2の解答の意味がわかりません。
出来ればdx.dtなど使わずに、もしくは意味を添えて教えて頂けませんか？