Question

なごみ

(3)についてで、矢印の恒等式がどうしたら分かるか教えて欲しいです！

応用問題
B
解 138.
dとnを正の整数とする。 1からnまでのd乗の和を Sa(n)=1+2+......+n とお
く。
(1) すべての正の整数nについて, S3(n)=
n2(n+1)2
が成り立つことを, 数学的帰納
4
法を用いて証明せよ。
9
恒等式(k+1)-(k-1)k=6k+2k を利用して, Ss(n) を求めよ。
(3) すべての正の整数nについて, 24S7(n) は整数n2(n+1)2で割り切れることを示せ
139.
琉球大・理系]

13 〈数の和の公式
(2)与えられた恒等式の両辺にR=1,2,······, n を代入し々の和をとる。
(3)等式(+1)-(k-1)*'=8A+8F を利用する。
(1) S(m)=1+2+がのとき、すべての正の整数nについて
S()= *(+1)*
が成り立つことを数学的帰納法により示す。
とする。
[1] n=1のとき
m²(n+1)*
******
(①の左辺)=ド=1
(①の右辺)=1.2=1
よって、n=1のとき①は成り立つ。
[2]nk のとき,①が成り立つと仮定すると
1³+2³+......+k³ = k²(k+1)²
4
nk+1のときを考えると
1³+2ª³+······+k³+(k+1)³=-
(k+1)^{k²+4(k+1)}_(k+1)(k+2)
k²(k+1)
+(k+1)*
4
=
4
4
=
(k+1)^{(k+1)+1}^
4
よって, ① は n=k+1 のときも成り立つ。
[1], [2] から, すべての正の整数nに対して
n²(n+1)²
S3(n) =
4
が成り立つ
(2)恒等式(+1)-(k-1)k=6k+2k の両辺に
k = 1, 2,...... n を代入し辺々の和をとると
{k³(k+1)³−(k−1)³k³} = Σ (6k³+2k³)
k=1
k=1
ここで
{k³(k+1)3-(k-1)³k³}
k=1
={(1•2)-(0•1)*}+{(2・3)-(1・2)*}
=n(n+1)3
+....+[{n(n+1)}_{(n-1)n}]
←(01)n(n+
残る。
Σ(6k³+2k³)=6Ss(n)+2Ss(n)
よって
k=1
=6S;(n)+2. n²(n+1)² = 6S;(n)+½n²(n+1)²
4
n³(n+1)³=6S₂(n)+——n²(n+1)²
(1)より
学問(理系)

したがって 65g(n)=n(n+1)-2/23㎡(n+1)
= ½n²(n+1)²(2n(n+1)−1}
= n²(n+1)²(2n²+2n−1)
ゆえに S:(n) = 112^n²(n+1)²(2n²+21-14
(3) 恒等式(k+1)^-(k-1)^k=8k78k の両辺に
k=1, 2,..., n を代入し,辺々の和をとると
{k(k+1)-(k-1)*k*} = Σ (8k²+8k³)
k=1
k=1
ここで
{k^(k+1)−(k−1)ªkª}
k=1
よって
= {(1·2)4-(0·1)4}+{(2·3)ª—(1•2)4}
=n²(n+1)4
n
+…+{n^(n+1)−(n−1)*n*}
(8k+8k5)=8S7(n)+85(n)
k=1
=8S7(n)+8• 2n²(n+1)² (2n²+2n−1)
=8S7(n)+n²(n+1)²(2n²+2n−1)
n^(n+1)*=8S,(n)+ ½ n²(n+1)²(2n²+2n−1)
ゆえに
8S,(n) = n²(n+1)¹— n²(n+1)²(2n²+2n−1)
=½\n²(n+1)²(3n²(n+1)²−2(2n²+2n−1)}
= n²(n+1)² (3n²+6n³ — n²−4n+2)
よって 24S7(n) = n²(n+1)2(3n+6n³-n²-4n+2)
したがって,すべての正の整数nに対して, 24S7(n) はn(n+1)^
で割り切れる。
120
★(0.1)* とn'(n+1)
残る。
◆(2)より

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

(2) をヒントとして、k 3乗の恒等式でS₅が導けるんだから、
S₇ はk4乗の恒等式を推測して答えなさい、ってことだと思われます。

なごみ

回答ありがとうございます！では、左辺の式を推測して、それを計算して右辺を出すということで合ってますか？？

かき

いえ、推測するのは、3乗→4乗です。
右辺は左辺を計算した結果です。

かき

左辺の式は、
　kとk+1、k-1とk それぞれ3乗の引き算
です。これで、S₅が求まった。
このことから、S₇は、
　kとk+1、k-1とk それぞれ4乗の引き算
から求まるのではないか、と推測し、
この左辺を計算すると、右辺の式が得られ、これより、S₇が求まるわけです。

なごみ

なるほど、納得しました！丁寧におしえていただきありがとうございました！