Question

なごみ

この問題で、接線を写真のように置くか、接点を解答のように置くか迷ったのですが、どう判断すればよいですか？回答よろしくお願いします。

例題
D 出
不★★☆☆
点(α, 0) から曲線 y=logx に異なる2本の接線を引くことができると
定数αの値の範囲を求めよ。 ただし, lim-
t
0 を用いてよい。 (1)
817
点 (t, logt) における接線を1とすると
点(α, 0)から→ l が (a, 0) を通る →t と αの方程式 -
【 接線が2本 → 接点が2個
対応を考える
«ReAction 接点が与えられていない接線は,接点を文字でおけ 例題 34
()
tについての方程式と
→みて、異なる2つの
実数解をもつ
→ tが2個
3
(logx)'=
=
よりの傾きはあり
1
x
(
章
t₁
t2
接点が異なる
接線の傾きが異なる 接線が異なる
Action» 接線の本数は、接点の個数を調べよ
思考のプロセス
いろいろな微分の応用
接点をP(t, logt) (t > 0) とおくと、点Pにおける接線の真数条件 moiinA
例題
84 方程式は y-logt =
=(x-t)
これが点(a,O)を通るから, 0-logt = 1/2(a-t)より
y' =
1
x
t(1−logt) = a ・①
であるから、接点が異なれば接線も異なる。
よって、接点の個数と接線の本数は一致する。
ゆえに、tの方程式 ① は異なる2つの実数解をもつ。
f'(t) =-logt
f(t) = t(1-logt) (t > 0) とおくと
f'(t) = 0 とするとt=1
ここで,logt = -s とおくと, t→+0 のとき s→∞ となり
1
y'
x
ol (U)
014
12130-(笑)
t (0) 両辺に掛ける。
キのとき
1 1
-キーより, 接点が異
t₁t2
なれば接線の傾きも異な
る。
(x)
limtlogt = lime*(-s)=i(-1/2)=0
S
(S)
よって
limf(t) = 0
YA
また, limf(t) =
=-- ∞ であるから,
1-
y=a
817
2本の接線を引いた図
例題
118
増減表とグラフは次のようになる。
1
0
e
t
t
0
...
1
...
f'(t)
f(t)
+ 0
7
1
y=f(t)
①の実数解は,曲線 y=f(t) と直線 y=αの共有点の
座標であるから, 異なる2つの共有点をもつとき,定数
の値の範囲は
0 <a< 1
Oa
y=logx
本の接線が引けるとき, 定数 αの

接線
zmを用いて
y=m(x-a)とおと。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

(a,0)を通るからy=m(x-a)とおきたくなりますが、
汎用性があるのは、
模範解答のように接点のx座標をtとおく方法です

とにかくこちらを優先しましょう
2枚目の方法は別解として、
どちらが優位か毎回比較してみるのもよいです

なごみ

接点を置いた方が汎用性が高いのは、その方が接しているという条件を使いやすいからですか？

和

接点から始める方法はワンパターンですね
その時点で汎用性があると言っていいと思います

y=m(x-a)とおく方法では
問題の設定により難易がまちまちになるというか…
たとえばもとの曲線が2次関数なら、
連立して判別式を使うとかもできますが、
一般にはそうもいかなくなります

なごみ

なるほど、追加の質問にも答えて下さってありがとうございました！納得しました！